• Tìm cách giải

Muốn chứng minh ta chứng minh .

Đã biết hiệu nên cần tính tổng .

• Lời giải:

Xét có

(vì ; ).

Xét tứ giác ABCD có: , do đó

Vậy . Theo đề bài nên .

Mặt khác, nên . Do đó .

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD có:

Suy ra:

Do đó .

Xét có:

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD có: .

Vì , nên . (1)

Xét có . (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Do đó //.

• Tìm cách giải

Để chứng minh hai góc A và C bù nhau ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C

• Lời giải:

- Xét trường hợp AD < DC

Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho DE = DA

Ta có: (c.g.c) và .

Mặt khác, nên .

Vậy cân .

Ta có:

Do đó:

- Xét trường hợp AD > DC

CMTT như trên, ta được: ;

Lời giải:

Tứ giác ABCD có

nên .

có

Vì DE và là các tia phân giác của hai góc kề bù nên . Tương tự,

Xét tứ giác CEDF:

Có:

Lời giải:

Gọi các góc trong của đỉnh A và C là và còn các góc ngoài của đỉnh A và C là và .

Ta có: (hai góc kề bù)

(hai góc kề bù)

Suy ra: và

(1)

Ta lại có: (tổng 4 góc tứ giác)

(2) . Từ (1) và (2)

Lời giải:

• Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau

Gọi , là số đo hai góc trong; , là số đo hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau là C và D. Ta có:

. (1)

Xét tứ giác ABCD có: . (2)

Từ (1) và (2) suy ra: .

Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (xem VD₄)

Lời giải

Vẽ đường phân giác của các góc và chúng cắt nhau tại E.

Xét có .

(c.g.c) .

(c.g.c) .

Suy ra do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng

Vậy. Do đó .

Lời giải

a) Xem cách giải tống quát ở câu b

b) Giả sử và có vị trí như trên hình bên, các tia phân giác của các góc và cắt nhau tại I. Trước hết ta chứng minh rằng .

Thây vậy, gọi H và là giao điểm của FI với AB và CD

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:

nên

Do đó

• Tìm cách giải

Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ta phải chứng minh ( là hằng số).

Ghép tổng trên thành hai nhóm .

Ta thấy ngay có thể dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng.

• Trình bày lời giải

Xét ba điểm M, A, C có (dấu “=” xảy ra khi ).

Xét ba điểm M, B, D có (dấu ‘=’ xảy ra khi ).

Do đó: .

Vậy min khi M trùng với giao điểm O của đường chéo AC và BD.

• Lời giải:

Kẻ AH BD. Đặt BH = x, AH = y. Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ABH và AOH, ta có:

Giải hệ trên ta tìm được:

Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ADH, ta có:

1. Cho tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng nếu NQ thì .

• Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ

Ta có : MN < MO + ON và (Bđt tam giác) suy ra ;

mà nên

• Lời giải:

Giả sử tứ giác ABCD có CD là cạnh dài nhất.

Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh còn lại (1).

Thật vậy, xét ta có: .

Xét có: . Do đó .

Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì không thỏa mãn

điều kiện (1) nên không có tứ giác nào mà các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.

• Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét , vuông tại O, ta có:

.

Chứng minh tương tự, ta được:

Do đó: .

Suy ra:

• Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:

Do đó

hay . (1)

Chứng minh tương tự, ta được: . (2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

Xét các và ta có: . (3)

Tương tự có: . (4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: .

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.

Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho . Chứng minh:

Giải

Vẽ . Vì nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét và vuông tại H, ta có:

.

Vì nên ( dấu “=” xảy ra khi tức là khi vuông).

• Lời giải

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử .

Ta có: .

Do đó .

Ta đặt thì . (*)

Ta có: (1)

(2)

(3)

(4)

Từ (4) và (*) do đó .

Vì nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra .

Do đó .

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra .

Ta có: .

Từ đó: , vô lí.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

• Lời giải:

Ta có: Chu vi

Chu vi

Theo giai thiết, ta có

Suy ra MN + MP PQ + NQ (1)

Theo bài 8, ta có: (2)

Cộng các bất đẳng thức (1) và (2) theo từng vế, ta có . Suy ra

1. So sánh độ dài cạnh và đường chéo của tứ giác biết rằng chu vi tam giác nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác .

Lời giải: Ta có: Chu vi Chu vi Theo giả thiết: (1) Mặt khác ta có: (2) (kết quả bài 8) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 2AB < 2AC AB < AC

1. Lấy trong tứ giác MNPQ một điểm O. Gọi CV là chu vi của tứ giác. Chứng minh

• Lời giải:

Ta có

Cộng các bất đẳng thức trên theo từng vế, ta có

Vậy:

• Lời giải:

1. Cho tứ giác ABCD lồi. Cần chứng minh hai đường chéo AC và BD cắt nhau.

Do tứ giác ABCD lồi nên B và C cùng nằm trên nữa mặt phẳng bờ chứa AD.

Giả sử , khi đó tia AB nằm giữa hai tia AD và nên cắt cạnh (Vô lý).

Vậy . Do đó tia AC nằm giữa hai tia AB và AD tức là AC cắt đoạn thằng BD

Chưng minh tương tự, ta có tia BD cắt đoạn thẳng . Vậy hai đường chéo AC và BD cắt nhau.

1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau. Cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác lồi.

Khi AC và BD cắt nhau thì AC là tia nằm trong góc DAB. Do đó và trên nửa mặt phẳng bờ chứa AD; AD và AC nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB.

Chứng minh tương tự, ta có và CD cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa BC, CA và CB nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa CD.

Vậy A, B, C, D nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa bất kỳ đường thẳng nào của tứ giác nên tứ giác ABCD là tứ giác lồi.

• Tìm cách giải

Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm. Khi đó tồn tại một cạnh đáy có độ dài nhỏ hơn

• Trình bày lời giải

Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC

Ta có: AB // CD nên (so le trong )

Mặt khác: nên cân tại

Xét có nên đồng thời là đường trung tuyến :

Ta có: Vậy

Vậy một trong hai đáy phải có độ dài nhỏ hơn

1. Cho tứ giác . Gọi là trung điểm là trung điểm , là trung điểm là trung điểm .
2. Chứng minh .
3. Nếu tứ giác là hình thang đáy là và

Chứng minh .

• Lời giải

1. Ta có (tính chất đường trung bình của tam giác) nên .

Với ba điểm M, I, K ta có (BĐT tam giác)

Vậy

1. Nếu tứ giác là hình thang, ta có AB // CD. Suy ra M, N, I, K thẳng hàng

Khi đó

1. Cho tam giác có , các đường trung tuyến , . Lấy các điểm trên cạnh sao cho . Gọi I là giao điểm cùa AM và BD, là giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.

• Lời giải:

Ta có : DN la đường trung bình của tam giác ACM nên DN // AM.

có , MI // ND nên I là trung điểm của BD. Tương tự là trung điểm của .

Hình thang BEDC có I và K là trung điểm của hai đường chéo nên dễ dàng chứng minh được

1. Cho hình thang (AB // CD). Gọi là trung điểm của BC. Cho biết .

1. Chứng minh rằng: AD = AB + DC.
2. DM là tia phân giác của góc D.

• Lời giải

1. Gọi N là giao điểm của AM với DC

Ta có (g-c-g)

Suy ra AM = MN và AB = CN. (1)

có AD là đường cao và đồng thời là đường trung

tuyến nên là tam giác cân tại D. Suy ra AD = DN = DC + CN (2)

Kêt hợp (1) và (1) AD = AB + DC.

1. Do cân tại D nên AD là đường cao đồng thời là đường phân giác

Hay AD là phân giác của góc D

1. Cho hình thang vuông tại và . Gọi là trung điểm của . Cho biết .

1. Chứng minh rằng: .

1. Vẽ . Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.

• HD:

1. Gọi E là giao điểm của BM với CD.

Chứng minh

có CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân.

(vì ).

1. Chứng minh cân (cùng vuông góc với CM)

là hình thang.

1. Cho tứ giác . Các tia phân giác của góc , góc cắt nhau tại . Các tia phân giác của góc , góc cắt nhau tại . Cho biết , chứng minh rằng :

1. Tứ giác là hình thang.

1. Chứng minh.

1. Cho hình thang vuông tại và . Cho biết và . Tính độ dài .

• HD : Kẻ BH DC

ĐS : AB = 27

1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác. Gọi A’, B’, C’, G’, lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên d.

Chứng minh: AA’ + BB” + CC’ = 3GG’

• Lời giải

Gọi T là trung điểm của BG, T’ là hình chiếu của T trên d. Dựa theo tính đường trung bình của hình thang, ta có

Suy ra

1. Lấy M, N trên đoạn thẳng AB ( M nằm giữa AN). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác AMD, MEN, NFB. Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác DEF đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N

• Lời giải

Gọi D’, E’. F’ lần lượt là hình chiếu của D, E. F trên AB. Tổng các đường cao DD', EE'. FF của ba tam giác đều ADM. MEN, NFB bằng đường cao tam giác đều AKB (không đổi). Goi G là trọng tâm của tam giác DEF ; G’ là hình chiếu của trên . Theo bài 8, ta có

không đổi. Vậy khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của M và N

1. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo bởi hai đường chéo hình thang.

• Lời giải:

Xét hình thang cân , đường cao và (1)

Qua B kẻ đường thẳng song song với , cắt DC ở .

Ta có nên .

BDE cân tại B, đường cao BH nên (2)

Ta có nên (3)

Từ , (3) suy ra .

Các giác BHD, BHE vuông cân tại nên .

Ta có nên

• Tìm cách giải

Ta đã biết hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Từ đó ta vẽ thêm hình phụ để tìm sự liên hệ giữa đáy lớn và ba cạnh còn lại. Ta vẽ Mặt khác, đề bài có cho góc , gợi ý cho ta vận dụng tính chất của tam giác đều để tính độ dài mỗi cạnh theo chiều cao của nó .

• Lời giải

Tứ giác có nên là hình thang. Hình thang này có nên là hình thang cân.

Chứng minh tương tự ta được các tứ giác cũng là hình thang cân.

Suy ra: .

Do đó là tam giác đều .

là giao điểm của ba đường trung trực của .

Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực cũng là giao điểm của ba đường cao, ba đường trung tuyến.

Chiều cao của tam giác đều cạnh được tính theo công thức: .

. Do đó chu vi của là: .

• Lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa vẽ tia sao cho .

Tia cắt tia tại .

Khi đó hình thang là hình thang cân.

và .

Xét có góc là góc ngoài nên (vì ).

Do đó .

• Lời giải
• Xét trường hợp

là tam giác cân.

Vì nên .

Do đó: .

• Xét trường hợp

Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm sao cho .

Các và cân tại nên:

.

Tứ giác là hình thang.

Mặt khác nên là hình thang cân .

Gọi là giao điểm của và . Ta có : .

(1).

Vì (2).

nên từ (1) và (2) suy ra : (3).

Xét có nên .

Tương tự . Do đó : (4).

Từ (3) và (4) suy ra : hay . Do đó .

• Xét trường hợp : Chứng minh tương tự.

1. Tứ giác có và . Hỏi tứ giác có phải là hình thang cân không?

• Lời giải

Qua vẽ một đường thẳng song song với cắt tia tại . Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

• Vậy nếu trùng với thì tứ giác là hình thang cân.

• Nếu không trùng với , ta có: .

Mặt khác, nên .

Do đó cân , vô lí.

Vậy trùng với và tứ giác là hình thang cân.

a) Phân tích

Giả sử ta đã dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Vẽ ta được

và

- dựng được ngay

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia và cách là

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia ( hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ) và cách là

b) Cách dựng

- Dựng sao cho

- Dựng tia (hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ).

- Trên tia đặt

- Trên tia đặt

- Nối ta được hình thang phải dựng.

c) Chứng minh

Theo cách dựng tứ giác có nên nó là hình thang.

Xét hình thang có

nên do đó

Như vậy hình thang có và

d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

1. Phân tích

Giả sử ta đã dựng được tam giác thỏa mãn đề bài.

Trên tia ta lấy điểm sao cho

Khi đó:

cân,

- xác định được

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia và nằm trên đường trung trực của

1. Cách dựng:

Dựng sao cho và

- Dựng đường trung trực của cắt tia tại .

- Nối ta được phải dựng.

c) Chứng minh

thỏa mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm nằm trên đường trung trực của nên .

Do đó : và

.

d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

• Nhận xét : Đề bài có cho đoạn thẳng nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng nào như vậy. Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng bằng cách trên ta đặt . Khi đó chính là hiệu . Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng bằng cách trên tia ta đặt (h.2.10). Khi đó :.

cân, có .

xác định được. Khi đó điểm thỏa mãn hai điều kiện : nằm trên tia và nằm trên đường trung trực của .

a) Phân tích:

Vẽ ( tia ), ta được:

.

- dựng được ngay (c.g.c);

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia và cách là .

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia và cách là .

b) Cách dựng:

- Dựng sao cho .

- Dựng tia và trên đó đặt (hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ).

- Trên tia đặt .

- Nối ta được hình thang phải dựng.

c) Chứng minh:

Tứ giác theo cách dựng có nên là hình thang.

Xét hình thang có nên và .

. Hình thang theo cách dựng có:

và .

d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

• Cách dựng:
• Dựng sao cho .

• Dựng tia (hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ).

• Dựng cung tròn tâm , bán kính cắt tại

• Nối ta được hình thang phải dựng.

• Biện luận:

Vẽ thì . Do đó

• Nếu thì đường tròn không cắt tia nên bài toán không có nghiệm hình.

• Nếu thì đường tròn có chung với tia một điểm, bài toán có một nghiệm hình.

• Nếu thì đường tròn cắt tia tại hai điểm và , bài toán có hai nghiệm hình.

• Nếu thì đường tròn cắt tia tại một điểm nên bài toán có một nghiệm hình.

a) Phân tích:

Giả sử ta đã dựng được tứ giác thỏa mãn đề bài.

Ta thấy dựng được ngay.

Trên tia lấy điểm . Vẽ đoạn thẳng và . Khi đó và .

b) Cách dựng:

- Dựng .

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ dựng các tia và sao cho .

- Trên tia lấy điểm .

- Dựng đoạn thẳng sao cho và .

- Dựng .

- Dựng .

Tứ giác là tứ giác phải dựng.

a) Phân tích:

Giả sử đã dựng được thỏa mãn đề bài.

Trên tia đối của tia lấy điểm ; trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .

Khi đó: .

vuông cân tại nên .

Góc là góc ngoài của tam giác cân nên .

- dựng được (g.c.g).

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên đoạn thẳng và .

- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên đoạn thẳng và nằm trên đường trung trực của (vì cách đều hai đầu đoạn thẳng ).

b) Cách dựng:

- Dựng sao cho và .

- Dựng .

- Dựng đường trung trực của cắt tại .

- Nối ta được phải dựng.

c) Chứng minh :

vuông tại có nên là tam giác vuông cân .

Điểm nằm trên đường trung trực của nên .

có và .

d) Biện luận :

- Nếu thì bài toán không có nghiệm hình.

- Nếu thì bài toán có một nghiệm hình.

CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

• Tìm cách giải

Kết luận của bài toán gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi là trung điểm của thì ta có thể dùng định lý đường trung bình để chứng minh.

• Trình bày lời giải

Gọi là giao điểm của và .

Gọi là trung điểm của .

Theo tính chất của trọng tâm, ta có: .

Xét có là đường trung bình .

Xét có và nên .

Vậy chia đôi .

Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng là cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý đường trung bình của tam giác.

• Tìm cách giải

Để chứng minh một trong hai đoạn thẳng và có độ dài không lớn hơn , ta chứng minh tổng của hai đoạn này không lớn hơn . Khi đó một trong hai đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn .

• Trình bày lời giải

Gọi là trung điểm của .

Xét có là đường trung bình nên .

Xét có là đường trung bình nên .

Xét ba điểm có .

Chứng minh tương tự, ta được: .

Vậy .

Suy ra một trong hai đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn .

Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này vẫn là vẽ trung điểm của đoạn thẳng . Cũng có thể vẽ trung điểm của đoạn thẳng thay cho trung điểm của đoạn thẳng .

• Lời giải

Gọi là giao điểm của và .

Ta có: và .

Xét có là đường trung bình

và (vì ).

Xét có là đường trung bình

(vì ).

Xét có là đường trung bình

(vì).

Xét có là ba đường cao nên chúng đồng quy.

• Tìm cách giải

Gọi là trung điểm của .

Xét có là đường trung bình

và .

Xét có là đường trung bình

và .

Ta có: (so le trong).

cân tại .

• Lời giải:

a) Gọi và thứ tự là giao điểm của và với đường thẳng .

có vừa là đường phân giác, vừa là đường cao nên là tam giác cân.

Tương tự, ta có: .

Xét có là đường trung bình nên

Do đó tứ giác là hình thang.

b) Ta có: (so le trong).

Hình thang là hình thang cân

cân tại .

• Lời giải:

Gọi và lần lượt là trung điểm của và .

Gọi và lần lượt là trung điểm của và .

Ta có là đường trung bình của là đường trung bình của .

Suy ra và , FG // AB và .

Do đó và . Dễ thấy .

và có: (hai góc có cạnh tương ứng song²).

Vậy .

• Lời giải

Gọi là trung điểm của thì: .

cân tại là đường cao nên .

Ta có là đường trung bình của .

tứ giác ADHM là hình thang

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

(Vì là góc ngoài của ) (1)

Ta đặt thì

Vậy có .

• Lời giải

và có:

(cùng phụ với góc );

.

Do đó

và .

Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với và .

Ta có: .

Xét có là đường trung bình và

Xét có là đường trung bình và .

Vì nên .

Ta có: (hai góc có cạnh tương ứng song song).

Do đó vuông cân tại

• Lời giải

và có chung.

Do đó cân.

Mặt khác nên đều.

Ta có: nên là đường trung tuyến của tam giác đều, do đó cũng là đường cao.

Vậy .

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên .

Chứng minh tương tự, ta có: .

Xét có là đường trung bình nên (vì )

Vậy đều .

• Lời giải

Gọi và thứ tự là trung điểm của và .

Ta có và là đường trung bình của nên

và và .

(đồng vị).

Vì vuông cân tại nên và

vuông cân .

Tương tự, và vuông cân .

và có:

.

Vậy và .

Do đó .

Vậy vuông cân.

• Lời giải

Vẽ đường phân giác thì là một đường thẳng cố định.

Gọi là trung điểm của thì là một điểm cố định.

Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng và .

Xét có là đường trung bình

và .

Xét có là đường trung bình

và .

Vì nên cân .

Ta có .

Xét có là góc ngoài nên .

Mặt khác nên .

Vậy nằm trên một đường thẳng đi qua và song song với . Đó là một đường thẳng cố định.

• Lời giải

Gọi là trung điểm của và là một điểm tùy ý không nằm giữa và .

• Trường hợp nằm trên tia đối của tia hay tia đối của tia

Ta chứng minh được

• Trường hợp không thẳng hàng với và

Gọi là trung điểm của , khi đó là đường trung bình của .

Xét , ta có:

Từ và suy ra:

Áp dụng hệ thức đối với điểm ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

.

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm của .

• Lời giải

Vì là ba đường cao của. Gọi là trung điểm của các đường cao đó. Gọi thứ tự là trung điểm của và .

Ta có: là các đường trung bình của

Vì là trung điểm của nên .

Vì là trung điểm của nên . Vì là trung điểm của nên .

Theo đề bài ra, ba điểm thẳng hàng nên các điểm này chỉ có thể nằm trên một trong các cạnh hoặc của .

• Nếu ba điểm cùng nằm trên thì trùng với , trùng với , khi đó vuông tại , trái với giả thiết góc là góc nhỏ nhất của

• Nếu ba điểm cùng nằm trên thì cũng lập luận như trên, vuông tại , trái với giả thiết

• Vậy ba điểm cùng nằm trên .

Lập luận tương tự như trên ta được vuông tại

• Tìm cách giải

Vì nên ta vẽ trung điểm của . Từ vẽ một đường thẳng song song với thì chính là đường trung bình của một tam giác. Từ đó sẽ tính được độ dài của nó.

• Trình bày lời giải

Gọi là trung điểm của . Khi đó: .

Vẽ .

Xét có và nên .

Xét hình thang có và nên .

Ta đặt .

Ta có là đường trung bình của .

Ta có là đường trung bình của hình thang

. Vậy .

Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta còn thêm đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

• Tìm cách giải

Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng nên có thể vận dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh thẳng hàng.

• Trình bày lời giải

a) Xét có là đường trung bình

.

Xét có là đường trung bình .

Xét hình thang có là đường trung bình .

Qua điểm có các đường thẳng cùng song song với nên các đường thẳng này trùng nhau, suy ra bốn điểm thẳng hàng.

b) Ta có: nên .

c) Ta có:

(đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ).

Nhận xét: Đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo có tính chất giống nhau là cùng song song với hai đáy, có tính chất khác nhau là bằng nửa tổng hai đáy còn bằng nửa hiệu hai đáy.

• Lời giải

a) Vẽ ta được và .

Ta có:

Theo bài 2 thì đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy. Vậy

b) Ta có:

Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy. Do đó bằng độ dài đường trung bình của hình thang.

• Lời giải:

Gọi là trung điểm của .

Vẽ .

Ta có:

• Xét có và nên

• Xét hình thang có và nên

• Xét có và nên

Từ suy ra: , do đó

• Lời giải

Gọi là trung điểm của .

Vẽ và .

Ta có:

(cạnh huyền – góc nhọn)

và

Tương tự, và

Từ và suy ra .

Dễ thấy là đường trung bình của hình thang

(không đổi).

Ta có: .

Vậy nằm trên đường trung trực của và cách một khoảng không đổi là .

Do đó là một điểm cố định.

Suy ra đi qua một điểm cố định là điểm .

• Tìm hướng giải

Điều phải chứng minh là gợi ý cho ta nghĩ đến định lí đường trung bình của tam giác. Ta vẽ đường trung bình của thì . Chỉ còn phải chứng minh .

• Trình bày lời giải

Gọi là trung điểm của , là trung điểm của . Khi đó là đường trung bình của

và cân tại và mà nên các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

và (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét có là đường trung bình .

Xét có là đường trung bình .

Suy ra: (vì cùng song song với ). Vậy tứ giác là hình thang.

Xét hình thang có là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên .

Tương tự, xét hình thang có: .

Do đó

Mặt khác (chứng minh trên) nên .

Vậy hình thang là hình thang cân

Từ và suy ra: .

• Lời giải

Vẽ cân tại . Trên cạnh lấy điểm , trên tia đối của tia lấy

điểm sao cho Như vậy

Ta phải chứng minh chu vi nhỏ hơn chu vi .

Muốn vậy ta phải chứng minh .

Ta vẽ (tia đối của tia ).

Hình thang là hình thang cân , mà và

Xét hình thang cân có và nên .

Vậy là đường trung bình của hình thang .

Vẽ thì (xem bài 3.12).

Xét vuông tại có

Từ và suy ra chu vi nhỏ hơn chu vi

• Lời giải

Tứ giác: AMCN có AM // CN và nên là hình bình hành. Suy ra hai đường chéo MN và AC cắt nhau tại trung điểm O của AC

Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại trung điểm O của AC.

Vậy các đường thẳng MN, BD và AC cùng đi qua trung điểm O của AC.

Nhận xét: Hai hình bình hành AMCD và ABCD có chung đường chéo AC thì các đường chéo của chúng đồng quy tại trung điểm của đường chéo chung.

• Lời giải

Ta đặt: thì ;

và có:

Do đó:

Chứng minh tương tự, ta được:

Từ và suy ra: . Vậy đều.

Nhận xét: Việc đặt là một kỹ thuật giúp ta tính toán và so sánh góc được nhanh chóng, tiện lợi.

• Tìm cách giải

Kết luận của bài toán gợi ý cho ta vận dụng định lý Py-ta-go. Muốn vậy phải vẽ đường phụ tạo ra một tam giác vuông có ba cạnh bằng ba đường trung tuyến.

• Trình bày lời giải

Giả sử tam giác ABC là tam giác có ha đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Ta phải chứng minh (AF là đường trung tuyến thứ ba).

Trên tia ED lấy điểm K sao cho D là trung điểm của EK. Tứ giác AKCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

AK // CE và.

Ta có: DE // BC và và

Vậy tứ giác DKFB là hình bình hành KF // BD và

Mặt khác, nên

Do đó vuông tại .

• Lời giải

Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M.

Gọi H là giao điểm của MA với BC.

Ta có:

mà nên

Ta có:

Do đó:

1. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

• Lời giải

Ta đặt thì .

và có:

Do đó (1) và

Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:

Xét có

Hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra vuông cân tại D

• Lời giải

Vẽ

Vì nên . Vì nên

Xét vuông tại H có (1)

Xét vuông tại H có . (2)

Xét hình bình hành ANHM có

. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

do đó

hay

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Do đó

• Lời giải

Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.

Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F.

Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.

(1)

Tứ giác EFCO là hình bình hành (2)

và . Suy ra

Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

• Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ

Ta có:

Xét hình thang có và nên

Do đó là đường trung bình của

hình thang hay

Xét hình thang , cũng chứng minh tương tự, ta có:

Từ đó suy ra:

• Lời giải

a) Vì là hình bình hành nên . Ta đặt , khi đó

và có:

(chứng minh trên);

. Vậy

b) Các và là những tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau mà nên

Xét và có CA chung và nên

Xét và có CO chung và nên

• Lời giải

Vẽ hình bình hành BDEF thì

Ta có:

Từ và suy ra . Ta có: (so le trong); (hai góc ở đáy của tam giác cân). Suy ra

c.g.c

Từ đó suy ra: đều. Ta đặt .

Vẽ tia là tia đối của tia . Vì nên .

Ta có: hay

Trong ta có .

Do đó:

Từ Suy ra

• Lời giải

Gọi M, N, P, Q, E. F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC và BD. Ta phải chứng minh MP, NQ và EF cùng đi qua một điểm.

Xét có MN là đường trung bình

và

Chứng minh tương tự, ta có:

và

Suy ra và . Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Chứng minh tương tự, ta được tứ giác MEPF là hình bình hành.

Hai hình bình hành MNPQ và MEPF có chung đường chéo MP nên các đường chéo MP, NQ và EF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.

1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, NB, MC, MD. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, EF, GH đồng quy.

HD: Chứng minh tứ giác HEGF là hình bình hành từ đó suy ra MN, EF, GH đồng quy.

• Lời giải

Qua A vẽ đường thẳng xy // PQ

Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho

Như vậy các điểm M và N cố định.

Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau nên là hình bình hành

BM // AD

Mặt khác, BC // AD nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)

Do đó đường thẳng BC đi qua điểm cố định M.

Chứng minh tương tự, ta được đường thẳng CD đi qua điểm cố định N.

• Lời giải

Xét tứ giác ABCD có và

Vẽ hình bình hành ADBE và vẽ hình bình hành CAEF.

Khi đó:

Như vậy hình bình hành CAEF hoàn toàn được xác định, do đó hai đường chéo AF và CE không đổi.

Dễ thấy tứ giác BFCD là hình bình hành

Chu vi tứ giác ABCD là:

Dấu xảy ra là hình bình hành.

Vậy chu vi của tứ giác ABCD nhỏ nhất khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành.

• Lời giải

Giả sử đã xác định được vị trí của C và để tổng nhỏ nhất. Vẽ hình bình hành (chú ý CD và ngược chiều nhau).

Khi đó (không đổi);

Điểm cố định.

Ta có tổng nhỏ nhất nhỏ nhất (vì không đổi).

nhỏ nhất thẳng hàng.

Từ đó ta xác định điểm như sau:

- Qua B vẽ một đường thẳng song song với d, trên đó lấy sao cho ( ngược chiều với CD)

- Lấy giao điểm C của và d

- Lấy sao cho (CD và ngược chiều)

Khi đó tổng nhỏ nhất.

• Lời giải

Giả sử đã xác định được vị trí CD của cầu sao cho tổng nhỏ nhất.

Vẽ hình bình hành .

Ta có: và

Khi đó là một điểm cố định.

Ta có tổng nhỏ nhất

nhỏ nhất (vì không đổi)

nhỏ nhất thẳng hàng.

Từ đó ta xác định vị trí CD của cầu như sau:

- Vẽ

- Trên tia AH lấy sao cho

- Lấy giao điểm D của và

- Vẽ

Khi đó nhỏ nhất.

• Tìm cách giải

Xét , đường thẳng đi qua trung điểm của , muốn cho đi qua trung điểm của ta cần chứng minh .

• Trình bày lời giải

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của và . Theo tính chất hình chữ nhật, ta có:

Xét có là đường trung bình nên . Do đó

cân, suy ra

Mặt khác, (cặp góc đồng vị) nên . Suy ra .

Xét có đường thẳng đi qua trung điểm của và nên đi qua trung điểm của , tức là đi qua . Vậy ba điểm thẳng hàng.

• Tìm cách giải

Dễ thấy tứ giác có hai góc vuông là nên chỉ cần chứng minh tứ giác này có một góc vuông nữa là thành hình chữ nhật.

• Trình bày lời giải

cân tại là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác.

Do đó: và

Ta có: (vì cùng vuông góc với )

(cặp góc đồng vị); (cặp góc so le trong).

Do đó (vì ).

Vậy cân tại mà là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, .

Tứ giác có nên nó là hình chữ nhật.

• Tìm cách giải

Ta thấy (không đổi). Dựa vào các hằng đẳng thức ta có thể tìm được mối quan hệ giữa tích với tổng . Mối quan hệ này được biểu diễn như sau:

Ta có:

• Trình bày lời giải.

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Tam giác có nên là tam giác vuông cân. Ta đặt: thì và .

Ta có: (không đổi).

Dấu xảy ra là trung điểm của .

Vậy giá trị lớn nhất của tích là khi là trung điểm của .

• Tìm cách giải

Giả sử đã chứng minh được thì và là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền nên hai đường trung tuyến ứng với phải bằng nhau. Do đó cần chứng minh hai đường trung tuyến này bằng nhau.

• Trình bày lời giải

Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Khi đó là đường trung bình của hình thang , suy ra:

(vì )

Trên cạnh lấy điểm sao cho .

có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân .

Xét vuông tại có (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). Suy ra (vì ).

Do đó vuông tại .

• Lời giải

Vẽ .

Ta có: là một đoạn thẳng cố định. Xét có và nên .

Vậy là đường trung bình suy ra:

(không đổi).

Điểm cách đường thẳng cho trước một khoảng

không đổi là nên điểm di động trên đường thẳng và cách là (đường thẳng và điểm cùng nẳm trên một nửa mặt phẳng bờ ).

• Lời giải

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật .

Tam giác vuông tại nên là tam giác vuông cân . Do đó .

Tam giác vuông cân, là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên

và

Ta có: hay

Do đó vuông cân

• Lời giải

Gọi là giao điểm của và , ta có

Vì nên

Vẽ

Xét cân tại là đường cao cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó và .

Vì nên .

(cạnh huyền, góc nhọn)

Xét vuông tại có nên suy ra .

Hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

• Lời giải

là hình chữ nhật nên

Ta đặt .

Xét ba điểm ta có:

do đó hay (1)

Mặt khác, hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Dấu xảy ra nằm giữa và và là trung điểm của .

Chứng minh tương tự, ta được: dấu xảy ra là trung điểm của .

Vậy

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng là 100 khi là giao điểm của hai đường chéo và .

• Lời giải

Vẽ .

Tứ giác và là hình chữ nhật nên và .

Xét vuông tại , ta có

Do đó

(không đổi)

Dấu xảy ra nằm giữa và và là trung điểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng là khi là trung điểm của .

• Lời giải

Tứ giác là hình chữ nhật nên

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

Do đó:

Vận dụng bất đẳng thức (dấu xảy ra khi ), ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng là khi lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

• Lời giải

Vẽ và

Tứ giác có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Suy ra .

vuông tại có nên

vuông tại có nên

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi và lần lượt là trung điểm của và .

• Lời giải

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên .

Gọi là giao điểm của và , ta có:

Xét vuông tại , ta có:

Xét có là đường trung tuyến ứng với cạnh mà nên vuông tại

• Lời giải

a) Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Xét vuông tại có là đường trung tuyến nên

cân

Mặt khác, (cùng phụ với );

(hai góc ở đáy của tam giác cân)

Suy ra

Gọi là giao điểm của và .

Xét vuông tại có .

Do đó: (1)

Ta có: (2)

Chứng minh tương tự, ta được: (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (vì cùng vuông góc với ).

b) Ba đường thẳng và là ba đường thẳng song song cách đều

vuông cân.

• Lời giải

Vẽ

và có: ;

(cùng phụ với ).

Do đó (cạnh huyền-góc nhọn)

(1)

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Ta có

Do đó tia là tia phân giác của góc

• Lời giải

Gọi lần lượt là trung điểm của và

Theo tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:

Do đó chu vi của hình tứ giác là:

Xét các điểm , ta có:

(không đổi).

Vậy chu vi của tứ giác (dấu xảy ra nằm trên theo thứ tự đó và ).

Do đó giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác là 34.

• Lời giải

Gọi là trung điểm của .

Vẽ và

Xét vuông tại , có nên

Xét , dễ thấy là đường trung bình nên

Điểm cách một khoảng là nên di động trên đường thẳng và cách là .

• Lời giải

Gọi là trung điểm của .

Khi đó và .

Gọi là trung điểm của , ta được .

Vẽ cùng vuông góc với .

Ba đường thẳng và là ba đường thẳng song song cách đều nên

Ta đặt thì và . Do đó .

Xét vuông cân tại .

Do đó

Điểm cách một khoảng không đổi là nên điểm di động trên đường thẳng và cách là .

• Lời giải

Vẽ

Ta có (cặp góc đồng vị) mà

Nên cân. Do đó

Mặt khác, nên .

Suy ra tứ giác là hình bình hành, trung điểm của cũng là trung điểm của .

Ta có điểm và cố định, theo ví dụ 5, thì điểm di động trên đường thẳng và cách một khoảng ( là đường cao của ).

• Lời giải

Chia hình chữ nhật có kích thước thành 9 hình chữ nhật nhỏ có kích thước . Có 10 điểm nằm trong 9 phần nên tồn tại hai điểm chẳng hạn và thuộc cùng một phần.

Dễ thấy độ dài đường chéo của mỗi hình chữ nhật nhỏ, tức là

• Lời giải

Chia hình chữ nhật có kích thước thành 7 phần như hình 5.24. Có 8 điểm nằm trong 7 phần nên tồn tại hai điểm chẳng hạn và thuộc cùng một phần.

Dễ thấy

• Lời giải

Vẽ .

Xét có (vì cùng vuông góc với ) và nên .

Vậy là đường trung bình của

Suy ra , do đó .

Xét vuông tại , có

do đó .

Xét vuông tại có .

Xét vuông tại có .

Do đó: .

• Lời giải

(c.h, g.nh) và

Vì là trực tâm của nên là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó và

Xét có (cùng vuông góc với ) và nên

Chứng minh tương tự, ta được:

Dùng định lý đường trung bình của tam giác ta chứng minh được và nên tứ giác là hình bình hành.

Mặt khác, (cùng bằng của hai cạnh bằng nhau) nên là hình thoi.

• Lời giải: Giả sử là hình thoi, . Hai đường chéo cắt nhau tại .

Vẽ , thì và là đường trung bình của tam giác

(1)

Xét vuông tại , (2)

Từ (1) và (2) suy ra: do đó

• Lời giải

Gọi là giao điểm của hai đường chéo.

Ta đặt thì

Ta có: và .

Từ bất đẳng thức suy ra

Do đó:

Vậy giá trị lớn nhất của tích là khi

là hình vuông.

• Lời giải

Gọi là trung điểm của .

Ta có và nên tứ giác là hình bình hành .

Mặt khác, nên tại .

Xét có và nên .

Có vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân

Mặt khác, nên cân.

Suy ra và .

Xét tứ giác có

.

Mặt khác, nên .

• Lời giải

Ta có mà nên . (1)

Vẽ điểm sao cho là trung điểm của .

Xét có là đường trung tuyến mà nên vuông tại

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác, là trung điểm của nên là trung điểm của .

Tứ giác có nên là hình bình hành

. (2)

Xét có và là hai đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm.

Nhận xét: Nếu vẽ hình bình hành về phía điểm thì kết luận của bài toán vẫn đúng.

• Lời giải

Ta có (hai tia phân giác của hai góc kề bù)

thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, ta được thẳng hàng.

Ta có

(một nửa của hai góc bằng nhau)

(g.c.g) .

Chứng minh tương tự, ta được .

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.

• Tìm cách giải

Vẽ hình chính xác ta thấy đường thẳng đi qua một điểm cố định là điểm . Vì thế ta sẽ chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh .

• Lời giải

Gọi N là giao điểm của đường thẳng và .

Khi đó ; (vì ∆AEM vuông cân) suy ra .

Chứng minh tương tự, ta được: .

Nối ta được: (c.g.c).

Suy ra do đó . Từ đó ba điểm thẳng hàng.

Vậy đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định là điểm .

• Tìm cách giải

Vẽ hình chính xác ta luôn thấy . Vì vậy ta vẽ hình phụ tạo ra góc rồi chứng minh bằng nửa góc vuông đó.

• Lời giải

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .

(c.g.c) suy ra và .

Ta có: .

hay .

Theo đề bài, mà nên hay .

(c.c.c) .Vậy, góc có số đo không đổi.

• Tìm cách giải

Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra bốn cạnh của tứ giác bằng nhau, ta được tứ giác này là hình thoi. Sau đó chứng minh hai đường chéo bằng nhau để được hình vuông.

• Trình bày lời giải

Vẽ , .

Gọi là giao điểm của và .

Ta có: mà nên .

Dễ thấy tứ giác là hình vuông.

và có:

; (bằng cạnh hình vuông);

(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

(g.c.g) và .

Ta có: do đó .

Các tam giác và bằng nhau suy ra .

Do đó tứ giác là hình thoi. Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.

• Lời giải

Các tứ giác là hình bình hành nên:

Suy ra

Do đó: .

• Tìm cách giải

Muốn chứng minh và đồng quy ta chứng minh chúng là các đường thẳng chứa đường cao của

• Lời giải

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

vuông cân .

Do đó và vuông cân

.

(c.g.c)

( là giao điểm của và ).

Chứng minh tương tự, ta được .

Gọi là giao điểm của với ; là giao điểm của với .

Ta có (vì nằm trên tia phân giác của góc ).

(g.c.g)

Ta có: ( vì )

Vậy ba đường thằng và là ba đường cao của nên chúng đồng quy.

• Lời giải

a) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và .

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Gọi là giao điểm của và .

(c.g.c) .

Ta lại có: (cùng phụ với );

Và .

Do đó cân

Cmtt, ta được

Xét hình chữ nhật có là trung điểm của đường chéo nên đường chéo phải đi qua hay đường thẳng đi qua .

Vậy ba đường thẳng đồng quy.

b) và có:

(cùng bằng );

(vì );

Do đó

Gọi là giao điểm của và .

Ta có . Vậy

Chứng minh tương tự, ta được

Xét có các đường thẳng chứa ba đường cao nên chúng đồng quy.

• Lời giải

(c.g.c) và .

Ta có

hay .

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành này có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi này có nên là hình vuông.

• Lời giải

vuông tại , nên là tam giác vuông cân

và có: ;

(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Do đó (g.c.g)

Vận dụng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được là hình bình hành.

Ta có:

mà nên

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Chứng minh suy ra là hình vuông.

• Lời giải

Ta đặt

Khi đó

(c.g.c) và .

Ta có

hay

Chứng minh tương tự, ta được

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Hình thoi này có nên là hình vuông, suy ra và..

• Lời giải

Tô màu bàn cờ như hình vẽ. Lúc này trên bàn cờ có ô đen và ô trắng.

Mỗi mảnh gỗ khi đặt lên bàn cờ che lấp được ô đen và ô trắng.

Do đó mảnh gỗ chỉ che lấp được ô đen.

Như vậy với mọi cách đặt mảnh gỗ lên bàn cờ bao giờ cũng còn thừa hai ô đen không được che lấp.

Vậy không thể dùng mảnh gỗ để lấp kín bàn cờ.

• Lời giải

a) Vì C đối xứng với A qua BD nên đối xứng với qua BD.

Do đó , suy ra: ; và .

Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên .

Chứng minh tương tự, ta được: .

Suy ra EF // HG Tứ giác EFGH là hình thang.

Ta có (cùng phụ với hai góc bằng nhau).

(một nửa của hai góc bằng nhau).

Suy ra

Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

b) .

Chứng minh tương tự, ta được: .

Đường thẳng BD đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân nên là trục đối xứng của hình thang cân EFGH.

• Lời giải

a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB và AC nên:

.

Ta có:

(không đổi).

b) Xét có (cùng bằng AD) nên là tam

giác cân. Tam giác cân này có góc MAN không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất

cạnh bên AM ngắn nhất AD ngắn nhất (vì )

D là hình chiếu của A trên BC.

• Lời giải

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó .

Chu vi

Chu vi nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi nhỏ nhất.

Thật vậy, khi thì chu vi bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của .

Thật vậy, xét có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của .

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra hay .

Chứng minh tương tự, ta được .

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.

• Lời giải

Giả sử đã dựng được hai điểm C và D sao cho và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.

Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).

Khi đó và

Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và .

Ta có nhỏ nhất

nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)

nhỏ nhất nhỏ nhất D nằm giữa A và N.

Từ đó ta xác định điểm D như sau:

- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho (điểm M ở phía gần A);

- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;

- Lấy giao điểm D của AN với xy;

- Lấy điểm sao cho (DC và MB cùng chiều).

Khi đó tổng nhỏ nhất.

• Lời giải

a) • AN đối xứng với AM qua AB

và . (1)

• AP đối xứng với AM qua AC

và . (2)

• đối xứng với AM qua AD nên .

Mặt khác, nên (3)

Từ (1) và (3) suy ra .

Ta có .

Chứng minh tương tự, ta được: , suy ra: .

cân tại A có là đường phân giác nên cũng là đường trung trực của NP N và P đối xứng qua .

b) Gọi Q là điểm đối xứng của M qua BC.

Chứng minh tương tự như trên ta được là đường trung trực của NQ và là đường trung trực của PQ.

Vậy là ba đường trung trực của nên chúng đồng quy.

• Lời giải

Trước hết ta chứng minh bài toán phụ:

Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng (h.7.15).

Thật vậy, xét , ta có hay . (1)

Xét có . (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

Bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu điểm M nằm trên một cạnh nhưng không trùng với đỉnh của tam giác.

Bây giờ ta vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho.

Vẽ điểm E đối xứng với D qua đường thẳng AB (h.7.16).

Khi đó và .

Vì điểm M nằm giữa A và B nên hoặc điểm M nằm trong hoặc điểm M nằm trong hoặc điểm M nằm trên cạnh EC.

Ta có hay .

Do đó .

• Tìm cách giải

Ta thấy:mà CD không đổi nên muốn chứng minh EF không đổi ta cần chứng minh không đổi.

• Trình bày lời giải

DE và AK đối xứng nhau qua M nên DE = AK và DE // AK do đó DE // AB.

Mặt khác, DC // AB suy ra ba điểm E, D, C thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, ta được: BK = CF và ba điểm D, C, F thẳng hàng.

Ta có (không đổi).

Nhận xét: Khi điểm K di động trên cả đường thẳng AB thì độ dài của đoạn thẳng EF vẫn không đổi.

• Tìm cách giải

Muốn chứng minh hai điểm M và N đối xứng qua A, ta chứng minh và .

• Trình bày lời giải

a) AM đối xứng với AD qua AB nên và . (1)

AN đối xứng với AD qua AC nên và . (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

và .

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Từ đó suy ra M và N đối xứng qua A và .

b) Vẽ , ta có , do đó .

Vậy MN ngắn nhất là bằng khi (h.7.7).

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ta có suy ra .

Do đó MN dài nhất là bằng khi (h.7.8).

• Lời giải

Ta có và BO đối xứng nhau qua F nên và // BO. (1)

BO và đối xứng nhau qua D nên và

BO // (2)

Từ (1) và (2) suy ra: và //, do đó tứ giác là hình bình hành.

Chứng minh tương tự ta được tứ giác là hình bình hành. Hai hình bình hành và có chung đường chéo nên các đường chéo đồng quy.

• Lời giải

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.

Xét có AN là đường trung bình AN // CE và do đó AN // BM và

, dẫn tới ANMB là hình bình hành

MN // AB và .

Mặt khác, HK là đường trung bình của nên HK // AD và .

Từ đó MN // HK và .

Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm của mỗi đường.

Do đó G là trọng tâm của .

G là trọng tâm của .

Vậy và có cùng một trọng tâm.

• Lời giải

Hình vuông có ô vuông, chia thành 8 cặp đối xứng nhau qua tâm hình vuông. Xét các cặp hai số ở hai ô đối xứng qua tâm đó.

Tổng hai số của mỗi cặp nhỏ nhất là , lớn nhất là .

Có 7 tổng (là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) mà có 8 cặp số nên phải có hai cặp có tổng bằng nhau.

Vị trí của 4 số trong hai cặp này là đỉnh của một hình bình hành

phải tìm (trường hợp đặc biệt: 4 số này nằm trong 4 ô có tâm thẳng hàng, ta nói hình bình hành “suy biến” thành đoạn thẳng).

• Tìm cách giải

Xét hình thang ABCD (AB // CD), ta phải chứng minh AD + BC > CD – AB. Điều phải chứng minh rất gần với bất đẳng thức tam giác. Điều này gợi ý cho ta vẽ hình phụ để có AD + BC là tổng các độ dài hai cạnh của một tam giác.

• Trình bày lời giải

Vẽ ta được và.

Xét có hay (đpcm).

Trường hợp hai cạnh bên song song thì hai đáy bằng nhau, bài toán hiển nhiên đúng.

• Tìm cách giải

Ba đoạn thẳng AB, AC và CD đã biết độ dài nhưng ba đoạn thẳng này không phải ba cạnh của một tam giác nên không tiện sử dụng. Ta sẽ dời song song đường chéo AC đến vị trí BE thì tam giác BDE vuông tại B biết độ dài hai cạnh, dễ dàng tính được độ dài cạnh thứ ba BD.

• Trình bày lời giải

Vẽ Khi đó: BE = AC = 15cm; CE = AB = 5cm.

Ta có: (vì ).

Xét ∆BDE vuông tại B có (cm).

• Lời giải

Xét hình thang ABCD có và Ta phải chứng minh:.

Vẽ khi đó và .

Ta có: (tính chất góc ngoài của ∆ADM)

. Do đó

1. Cho hình thang ABCD (AB // CD), . Cho biết AB + CD = BD = a. Tính độ dài AC.

• Lời giải

Vẽ . Ta được và .

Ta có:.

Vì nên.

Tam giác BDE vuông cân.

• Lời giải

Qua B vẽ đường thẳng CD), ta được và .

Do đó.

Ta có: (hai đường chéo của hình thang cân)

mà nên.

∆BDE cân tại B, BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, suy ra. Do đó các tam giác HBD, HBE vuông cân

∆BDE vuông tại.

• Lời giải

• Trường hợp hình thang có hai góc kề một đáy cùng tù, hai góc kề đáy kia cùng nhọn

Vẽ thì

Ta có:

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được:

• Trường hợp mỗi đáy có một góc tù (hoặc một góc vuông), một góc nhọn: Cũng chứng minh tương tự.

• Tìm cách giải

Nếu dời song song đoạn thẳng AD tới vị trí BH thì được ∆BHC vuông tại H. Ta dễ dàng tính được HC = HB, do đó tính được góc C, góc B.

• Trình bày lời giải

Vẽ thì BH // AD, do đó DH = AB = 3cm suy ra: HC = 5 – 3 = 2 (cm).

Xét ∆BHC vuông tại H, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

(cm).

Vậy ∆HBC vuông cân do đó suy ra .

• Tìm cách giải

Từ điều phải chứng minh ta thấy cần vận dụng bất đẳng thức tam giác. Do đó cần vẽ hình phụ để tạo ra một tam giác có hai cạnh lần lượt bằng AB, CD và cạnh thứ ba bằng đường chéo AC.

Nếu vẽ thêm hình bình hành ABEC thì các yêu cầu trên được thoả mãn.

• Trình bày lời giải

Vẽ hình bình hành ABEC, ta được BE // AC

suy ra

BE = AC = a; AB = CE.

Tam giác BDE là tam giác đều .

Xét ba điểm C, D, E ta có: hay (dấu “=” xảy ra khi điểm C nằm giữa D và E hay DC // AB. Khi đó tứ giác ABCD là hình thang cân).

• Lời giải

Vẽ hình bình hành DAFH.

Gọi N là giao điểm của hai đường chéo DF và AH, M là giao điểm của EH và BC.

Ta có

Ta đặt thì .

∆BDH và ∆HFC có: BD = HF (=AD),

(chứng minh trên);.

Do đó (c.g.c)

Chứng minh tương tự, ta được (c.g.c)

Từ (1) và (2) suy ra .

Tứ giác BHCE có các cặp cạnh đối bằng nhau (cùng bằng BC) nên là hình bình hành và .

• Xét ∆AEH có AM và AN là hai đường trung tuyến nên giao điểm G của chúng là trọng tâm

và .

• Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến mà nên G là trọng tâm của ∆ABC.

• Xét ∆EDF có EN là đường trung tuyến mà nên G là trọng tâm của AEDF.

Vậy ∆ABC và ∆EDF có cùng trọng tâm G.

• Lời giải

∆HBM vuông tại H có nên:

∆CAK vuông tại C có nên:

Suy ra: (cùng nằm )

Do đó cân .

Vẽ hình bình hành và .

Do đó (vì) và (vì cùng bằng KM).

và.

Tam giác ADK cân, AN là đường trung tuyến nên là đường cao, đường phân giác

Ta có

hay

Do đó

Xét ∆ANK có

• Tìm cách giải

Bài toán có cho hai trung điểm K và M nhưng chưa thể vận dụng trực tiếp được.

Ta vẽ thêm trung điểm N của AB để vận dụng định lý đường trung bình của hình chữ nhật, đường trung bình của tam giác.

• Trình bày lời giải

Gọi N là trung điểm cửa AB thì MN là đường trung bình của hình chữ nhật .

Mặt khác, AN // DM nên tứ giác ANMD là hình

bình hành. Hình bình hành này có nên là hình chữ nhật. Suy ra hai đường chéo AM và DN cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường:

OA = OM = ON = OD.

Xét ∆ABH có NK là đường trung bình nên (vì ). Do đó ∆KDN vuông tại K.

Xét ∆KDN có KO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Vậy ∆KAM vuông tại

• Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD.

Xét ∆HCD có KM là đường hung bình nên do đó (vì).

Tứ giác ADMB có và nên ABMD là hình bình hành.

Hình bình hành này có nên là hình chữ nhật.

Suy ra và .

Xét ∆KAM vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên.

Xét ∆KBD có KO là đường trung tuyến mà nên ∆KBD vuông tại K, do đó

• Lời giải

Gọi E là trung điểm của OB thì ME là đường trung bình của và.

Do đó và.

Tứ giác MECN là hình bình hành và.

Ta có: tại F (vì (tính chất đường chéo hình vuông).

Xét ∆MBC có E là trực tâm nên do đó. (1)

∆MAB và ∆EBC có: (vì OA = OB)

Vậy

Từ (1) và (2) suy ra AMNB vuông cân.

• Lời giải

Gọi E là giao điểm của đường thẳng DM với AB. Tam giác BDE có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân, do đó và.

Gọi N là trung điểm của BE thì MN là đường trung bình của

, do đó

cân

Tứ giác BCMN là hình thang cân

Xét ∆MBE vuông tại M có MN là đường trung tuyến nên.

• Lời giải

Ta có: (cùng vuông góc với AB). Tứ giác FECD là hình thang.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF và CD, MN là đường trung bình của hình thang CEFD. Do đó

Ta có: (tính chất đường trung tuyến

của tam giác vuông) cân

Mặt khác, NM là đường cao nên cũng là đường trung tuyến dẫn tới .

• Lời giải

Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho:.

và mà (cùng phụ với)

nên

Do đó (vì cùng song song với AE).

Xét hình thang MFCN có và nên .

Suy ra

• Lời giải

a) Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC và BD. Theo định lý Giéc-gôn (bài 4.8) thì ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng quy tại điểm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.

Gọi giao điểm của AO với DN là G. Vẽ.

Xét ∆NQH ta được

Xét ∆ADG ta được

Vậy

Vì A' là trọng tâm của ABCD nên và

Từ (1) và (2) suy ra do đó AA' đi qua O.

Chứng minh tương tự, các đường thẳng BB', CC', DD' đều đi qua O.

Suy ra AA', BB', CC', DD' đồng quy tại O.

b) Ta có: mà nên Suy ra: hay .

Chứng minh tương tự, ta được .

• Lời giải

Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của OB, OC, BC. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:

Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có tứ giác OFME là hình bình hành

Mặt khác,

mà nên. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:.

∆HEM và ∆MFK có:(chứng minh trên);

Do đó

Gọi N là trung điểm của OA, ta có:

Từ (3) và (4) suy ra MN là đường trung trực của HK.

Vậy đường trung trực của HK đi qua điểm cố định M là trung điểm của BC.

• Tìm cách giải

Giả sử đã tìm được điểm sao cho .

Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d thì suy

ra (cùng bằng ). Do đó ba điểm A', M, B thẳng hàng.

• Trình bày lời giải

- Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d;

- Vẽ đoạn thẳng A'B cắt đường thẳng d tại M;

- Vẽ đoạn thẳng MA ta được .

Thật vậy, do A' đối xứng với A qua d nên .

Mặt khác, . (đối đỉnh) nên .

• Lời giải

a) Vẽ điểm M đối xứng A qua Ox.

Vẽ điểm N đối xứng A qua Oy. Hai điểm M và N là hai điểm cố định.

Đoạn thẳng MN cắt Ox tại B, cắt Oy tại C. Khi đó chu vi ∆ABC là nhỏ nhất.

Thật vậy, vì M đối xứng với A qua Ox nên AB = MB.

Vì N đối xứng với A qua Oy nên CN = CA.

Chu vi

Do đó chu vi ∆AMN nhỏ nhất là bằng MN.

b) Vẽ, ta có: (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Xét ∆AMH vuông tại H, nên cm.

Xét ∆HMN vuông tại H, ta có:

Vậy độ dài nhỏ nhất của chu vi ∆ABC là 5,3 cm.

• Lời giải

1. Phần thuận

Tứ giác AEDF có DE//AF, DF//AE nên là hình bình hành.

Suy ra AD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy trung điểm M của EF cũng là trung điểm của AD.

Vẽ .

Do AH cố định nên AH có độ dài không đổi.

Xét có MK là đường trung bình,

(không đổi). Điểm M cách đường thẳng BC cố định một khoảng không đổi nên điểm M nằm trên đường thẳng và cách BC một khoảng . (xy nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A).

Giới hạn: Khi điểm D di động tới điểm B thì điểm M di động tới trung điểm P của AB. Khi điểm D di động tới điểm C thì điểm M di động tới trung điểm Q của AC. Vậy M chỉ nằm trên đường trung bình PQ của tam giác ABC.

1. Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng PQ. Vẽ tia AM cắt BC tại D. Vẽ DE // AB, DF // AC . Ta phải chứng minh M là trung điểm của EF.

Thật vậy, xét tam giác ABC có PQ // BC và PA = PB nên MA = MD.

Tứ giác AEDF là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do M là trung điểm của AD nên M là trung điểm của EF.

1. Kết luận

Vậy quỹ tích của điểm M là đường trung bình PQ của tam giác ABC.

Nhận xét: Điểm M là trung điểm của EF. Đây là tính chất ban đầu của điểm M, chưa phải tính chất cơ bản theo các quỹ tích (1), (2), (3), (4). Dó đó chưa thể vận dụng để trả lời điểm M nằm trên hình nào.

Ta đã giải quyết vấn đề này bằng cách biến đổi tính chất ban đầu của điểm M lần lượt như sau

M là trung điểm của EF ( tính chất ban đầu)

M là trung điểm của AD ( tính chất T’)

M cách đường thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng ( đây mới là tính chất cơ bản của điểm M)

M nằm trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng .

Như vậy ta phải chuyển tính chất ban đầu của điểm M qua các tính chất trung gian đến tính chất cơ bản của điểm M rồi theo các quỹ tích cơ bản trả lời điểm M nằm trên hình nào.

• Lời giải

a) Phần thuận

Vẽ ta được (cùng phụ với ).

( cạnh huyền, góc nhọn ) .

Điểm C cách đường thẳng Ox một khoảng bằng a nên C nằm trên đường thẳng và cách Ox một khoảng a cho trước.

Giới hạn: Nếu B trùng với O thì C trùng với ( và ). Nếu B ra xa vô cùng thì điểm C cũng ra xa vô cùng.

Vậy điểm C nằm trên tia của đường thẳng d

b) Phần đảo

Lấy điểm C bất kì trên tai . Vẽ đoạn thẳng AC.

Từ A vẽ . Ta phải chứng minh tam giác ABC vuông cân tại A.

Thật vậy, vẽ .

và có :

(cùng phụ với ).

Dó đó (g.c.g) .

Vậy vuông tại A.

c) Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm C là tia và cách Ox một khoảng bằng a.

• Lời giải

a) Phần thuận

Gọi O là giao điểm của hai tia AD và BE.

Như vậy O là một điểm cố định.

Xét có nên .

Tứ giác OECD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Hai đường chéo DE và OC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên trung điểm M của DE cũng là trung điểm của OC.

Vẽ thì MK là đường trung bình của , suy ra .

Điểm M cách đường thẳng AB cho trước một khoảng là nên điểm M nằm trên đường thẳng và cách AB là .

Giới hạn: Khi điểm C di động dần tới A thì điểm M dần tới trung điểm P của OA. Khi điểm C di động dần tới B thì điểm M dần tới trung điểm Q của OB. Vậy điểm M chỉ di động trên đường trung bình PQ của (trừ hai điểm P và Q).

b) Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng PQ (M không trùng với P, Q). Vẽ tia OM cắt AB tại C. Vẽ . Ta phải chứng minh các vuông cân và M là trung điểm của DE.

Thật vậy, xét có nên .

Xét vuông tại D có nên là tam giác vuông cân tại D.

Tương tự, vuông cân tại E.

Tứ giác OECD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác, M là trung điểm của OC nên M cũng là trung điểm của DE.

c) Kết luận

Vậy quỹ tích của điểm M là đường trung bình PQ của tam giác OAB trừ hai điểm P và Q.

• Lời giải

a) Phần thuận

Vẽ thì và (tính chất của tam giác cân).

Ta có: (cặp góc so le trong); (cặp góc đồng vị).

Vì nên . Suy ra cân.

Ta có: .

Tứ giác AHDM có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (không đổi).

Điểm M cách đường thẳng BC cho trước một khoảng

bẳng AH nên điểm M nằm trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng AH.

Giới hạn: Khi điểm D trùng với B thì E trùng với B và điểm F trùng với ( nằm trên tia CA và ). Khi đó điểm M trùng với ( là giao điểm của xy với B). Tương tự, khi điểm D trùng với C thì điểm M trùng với . Vậy M chỉ nằm trên đoạn thẳng của đường thẳng xy.

b) Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng . Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Ta phải chứng minh M là trung điểm của EF.

Thật vậy, tứ giác AHDM có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Hình bình hành này có nên là hình chữ nhật, suy ra .

Ta có: mà nên . Do đó cân.

Vì AM là đường cao nên cũng là đường trung tuyến .

c) Kết luận

Vậy quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng của đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng AH.

• Lời giải

a) Phần thuận

M là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật nên MO = MA.

Điểm M cách đều hai đầu của đoạn thẳng OA cố định nên M nằm trên đường trung trực của OA.

Giới hạn: Khi điểm B tiến dần tới điểm O thì điểm C tiến dần đến điểm A. Khi đó điểm M tiến dần đến là trung điểm của OA. Khi điểm B ra xa vô tận thì điểm M cũng ra xa vô tận. Vậy M nằm trên tia thuộc đường trung trực của

OA, tia này nằm trong góc xOy, trừ điểm .

b) Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên tia . Vẽ tia AM cắt tia Oy tại B. Vẽ hình chữ nhật AOBC. Ta phải chứng minh M là giao điểm của hai đường chéo.

Thật vậy, xét có ( vì cùng vuông góc với OA).

Mặt khác, nên MA= MB. Vậy M là trung điểm của AB

M cũng là trung điểm của OC (vì AOBC là hình chữ nhật).

c) Kết luận

Vậy quỹ tích của điểm M là tia thuộc đường trung trực của OA, tia này nằm trong góc xOy, trừ điểm .

• Lời giải

a) Phần thuận

Vẽ các đoạn thẳng MO, MA ta được:

.

Điểm M cách đều hai đầu của đoạn thẳng OA cố định nên điểm M nằm trên đường trung trực của OA.

Giới hạn: Khi điểm C di động tới điểm O thì điểm B di động tới (), khi đó điểm M di động tới là trung điểm của .

Khi B di động dần tới O thì điểm C di động tới (), khi đó điểm M di động tới là trung điểm của . Vậy điểm M chỉ di động trên đoạn thẳng .

b) Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng . Trên tia Ox lấy điểm B () sao cho . Tia BM cắt Oy tại điểm C. Ta phải chứng minh vuông tại A và M là trung điểm của BC.

Thật vậy, ta có: mà (vì M nằm trên đường trung trực của OA) nên . (1) cân .

Xét vuông tại O có

(vì cùng phụ với ) cân . (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Vậy M là trung điểm của BC.

Xét có nên vuông tại A.

c) Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng thuộc đường trung trực của OA.

• Lời giải

1) Chứng minh . (1)

Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật rồi dùng định lý Py-ta-go để chứng minh.

2) Tìm quỹ tích của điểm M

a) Phần thuận

Ta có: (2)

Suy ra

(3)

Từ (1) và (3) ta có:

Suy ra (4) hoặc (5)

Từ (2) và (4) ta có:

Do đó: .

Vậy điểm M nằm trên đường trung trực của AB.

Từ (2) và (5) ta có; .

Do đó:

Vậy điểm M nằm trên đường trung trực của AD.

Giới hạn: Vì M nằm trong hình chữ nhật hoặc trên các cạnh của nó nên M nằm trên hai đoạn thẳng EF và GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật.

b) Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng GH.

Khi đó .

Vậy . Nếu ta cũng có kết quả trên.

c) Kết luận: Quỹ tích của điểm M là hai đoạn thẳng EF và GH nối các trung điểm của hai cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật.