CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Bài 1:
a) Tính 
b) Tính 
Lời giải
a) 
b) Ta xét hai trường hợp
- TH1: Nếu n chẵn thì 
- TH1: Nếu n lẻ thì
Hai kết quả trên có thể dùng công thức:
Bài 2: So sánh 
và 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 4: Chứng minh rằng
a. 
b. 
Lời giải
a. Ta có: VT = 
b. VT = 
Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.
Bài 5: Cho 
Lời giải
VT = 
Mà: 
Bài 6: CMR, nếu 
thì ad = bc
Lời giải
VT = 
VP =
VT = VP 
Bài 7: CMR, nếu:
a. a + b + c = 0 thì 
b. 
thì x = y = z
Lời giải
a. Ta có : 
b. Đặt : 
và 
Từ giả thiết ta có : 
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 
b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. Ta có: 
b. 
c. 
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dứơi dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 11: Cho 
. Tính theo a giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 12: Chứng minh 
là bình phương của một đa thức
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Bài 13:
a) Cho a, b, c thỏa mãn 
. Tính giá trị của biểu thức sau 
b) Cho 
thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
luôn là tổng của ba số chính phương
c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn 
thì 
cũng là số nguyên tố
Lời giải
a) 
.
Vậy 
\
b) 
c) 
mà 
( p nguyên tố ); 
(q nguyên tố ). Do đó 
Ta có: 
lẻ, do đó p chẵn 
là số nguyên tố
Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn: 
viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức
Lời giải:
Cách 1:
Có: 
Có: 
Cách 2: Ta có: 
HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
1.
2.
Bài 1: Cho 
. Tính 
Lời giải
Bài 2: Tính 
Lời giải
Ta có: 
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
Bài 3: Cho 
. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
Lời giải
Ta có: 
Bài 4: Cho 
. Tính 
Lời giải
Ta có: 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 6: Cho a + b + c = 0, CMR: 
Áp dụng tính 
Lời giải
Từ giả thiết 
+) 
Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: 
. Tính 
Lời giải
Đặt 
Bài 9: Cho 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có: 
Do 
Thay các kết quả vào ta được: 
Bài 10: Cho 
Tính 
theo m và n
Lời giải
Cách 1: Từ 
Cách 2: Ta có: 
Lại có: 
Bài 11: Cho 
Tính giá trị biểu thức sau theo m 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
HẰNG ĐẲNG THỨC: 
Ta có: 
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: 
Lời giải
Đặt 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a. 
b. 
Lời giải
a. Đặt 
b. 
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1
Tính 
( n là số tự nhiên lẻ )
Lời giải
Ta có: 
+) TH1: 
+) Tương tự ta có: A = 1.
Bài 4: Giải các phương trình sau
a. 
b. 
c. 
d. 
Lời giải
a. 
b. 
Đặt 
c. 
Bài 5: Cho 
. Tính 
Lời giải
Cách 1: Nếu 
Cách 2: 
Bài 6: Giải các phương trình sau: 
Lời giải
Bài 7: Rút gọn 
Lời giải
Đặt 
HẰNG ĐẲNG THỨC: 
Nhận xét
- Nếu 
- Nếu 
Áp dụng:
Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: 
. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Vì:
+) Nếu 
+) Nếu 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
+) Nếu 
+) Nếu 
( khôn thỏa mãn )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)
Bài 3: Giải phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
Từ (1)(2) 
Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: 
. Tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Ta đặt 
Tương tự ta có: 
Bài 5*: Giả sử bộ ba số 
là nghiệm của phương trình 
. Chứng minh rằng bộ ba số 
cũng là nghiệm của phương trình đó
Lời giải
Ta có: 
Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0
+) Nếu: 
Từ: 
+) Nếu: 
Tương tự ta có: 
Từ (1)(2)(3) 
Đặt 
Vậy bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a) 
với a, b, c là các số thực thỏa mãn: 
b) 
với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: 
Bài 2: Cho 
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 
Chứng minh rằng
chia hết cho 81
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a) 
b) 
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG
1. 
2. 
3. 
Áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Biến đổi vế trái bằng vế phải rồi kết luận
Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức
Cách 2: Ta có 
Áp dụng ta được: 
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. 
b. 
c.
d. 
e. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 
b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4
Lời giải
Ta có: 
Có: 
Từ (1) 
Thay vào (2) 
Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: 
thì 
Lời giải
Từ (1) 
HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
( với n lẻ )
Áp dụng:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. Ta có: 
b. Ta có: 
c. Ta có: 
Bài 2: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: 
, n chẵn
Lời giải:
Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19
Từ (1) và (2) 
Bài 4: Tìm n thuộc N* để 
là số nguyên tố
Lời giải
Ta có 
+) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số
+) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1
Bài 5: Chứng minh rằng số
a. 
là hợp số b. 
là hợp số
Lời giải
a. Ta có: 
Là hợp sô
b. 
và B > nên B là hợp số.
Bài 6: Chứng minh rằng 
Lời giải:
Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1
Bài 7: Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có:
Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897.
Bài 8: Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có 133 = 112 + 11 +1
Vậy 
Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
Lới giải
Khai triển và rút gọn ta được: 
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. 
b. 
Lời giải
a. 
b. 
