Đề Thi Chọn HSG Toán 8 Cấp Trường 2023-2024 Có Đáp Án

Bài 1: Cho biểu thức:

a) Rút gọn K

b) Tìm giá trị lớn nhất của K

Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x² – 6y² = 1.

b) Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6.

Bài 3: a) Chứng minh rằng A = 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19

b) Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P

a. Chứng minh AM song song với BD

b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.

Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng

c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí

của P

Bài 5: Cho hai số thực

Hết

Bài 1

a, ĐKXĐ:

b, Nếu

Nếu , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1

Bài 2

a) HD:

b) HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.

- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó

p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).

- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).

Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2)

Từ (1) và (2) p + 16.

Bài 3 Chứng minh rằng A = 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19

HDa:

Ta có A = A = 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ = A = 7.25ⁿ + 12.6ⁿ

Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25ⁿ ≡ 6ⁿ (mod 19)

=>7.25ⁿ ≡ 7.6ⁿ (mod 19) => 7.25ⁿ + 12.6ⁿ ≡ 7.6ⁿ + 12.6ⁿ ≡ 19.6ⁿ ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.

HD b:

Ta chứng minh được:

Bài 4:

a, Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật)

P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P)

Nên Op là đường trung bình của ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD

b, Vì OP là đường trunh bình của ACM nên OP//AM và OP= AM

Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1)

Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có:

Nên AE là phân giác . Mặt khác: cân

E là trung điểm của KM,

do đó EI là đường trung bình của AMK=> EI//OA=>EI//AC (2)

Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng.

B5.HD: