Bài Tập Cơ Bản Toán 8 Chương 4 Định Lí Thalès Có Đáp Án Và Lời Giải

CHƯƠNG 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

Bài 1. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC.

I. LÝ THUYẾT.

1) Đoạn thẳng tỉ lệ.

Ví dụ 1: Cho các đoạn thẳng ở Hình .

Nếu chọn độ dài đoạn trên cùng là . Thì tỉ số

Kết luận:

• Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Ví dụ 2: Cho bốn đoạn thẳng

Khi đó ta có hai tỉ số và . Thấy rằng hai tỉ số này bằng nhau

Nên tạo thành một tỉ lệ thức .

Kết luận:

• Hai đoạn thẳng và gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng và nếu có tỉ lệ thức hay

2) Định lí Talès trong tam giác.

Ví dụ 3: Cho , từ điểm vẽ đường thẳng song song với cắt tại

Như Hình Khi đó hãy tính các tỉ số sau

1. và
2. và
3. và

Giải

1. Ta được và
2. Ta được và
3. Ta được và

Kết luận:

• Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ( Định lí Talès thuận)
• Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. ( Định lí Talès đảo)

Ví dụ 4: Cho và như Hình .

Lập các tỉ số theo định lí Talès.

Giải

có nên

Ví dụ 5: Cho Hình Chứng minh rằng

Giải

Ta có và

có

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Tìm trong các hình sau

Giải

Hình có

Hình Vì .

Hình Vì mà so le trong

Khi đó .

Bài 2: Cho có trung tuyến Qua trọng tâm kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

Giải

1. có
2. có

Bài 3: Cho Hình Biết

Chứng minh

Giải

có và

Nên

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Viết các hệ thức theo Định lí Talès trong các hình sau:

Bài 2: Cho Hình Chứng minh

Bài 3: Cho Hình Chứng minh

Bài 4: Cho Hình Chứng minh

Bài 5: Cho hình thang có . Lấy điểm trên cạnh từ kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại và ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 6: Cho Hình

1. Trên tia lấy sao cho

Trên tia lấy sao cho Chứng minh

1. Chứng minh

Bài 7: Cho là đường trung tuyến, là điểm nằm trên

đoạn . cắt tại cắt tại Lấy điểm trên

tia đối của tia sao cho Chứng minh

( Hình

Bài 8: Cho . Điểm nằm trong tam giác. Lấy điểm trên

từ kẻ và

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 9: Cho có là trung tuyến.

Trọng tâm là điểm đường thẳng đi qua cắt lần lượt tại Từ và kẻ các đường thẳng song song với cắt lần lượt tại ( Hình

1. Chứng minh .
2. Chứng minh

Bài 10: Cho có trung tuyến , trọng tâm đường thẳng đi qua cắt lần lượt tại Từ kẻ các đường thẳng song song với cắt lần lượt tại

Chứng minh ( Hình

Bài 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

I. LÝ THUYẾT.

1) Định nghĩa đường trung bình của tam giác.

Ví dụ 1: Cho , Lấy là trung điểm của

là trung điểm của ( Hình

Khi đó đoạn thẳng gọi là đường trung bình của

Kết luận:

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm

Hai cạnh của tam giác.

Ví dụ 2: Hãy chỉ ra đường trung bình của tam giác trong các hình sau

Giải

Hình

là đường trung bình

là đường trung bình

Hình

là đường trung bình

là đường trung bình

2) Tính chất đường trung bình của tam giác.

Kết luận:

• Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó

Cụ thể: có là đường trung bình thì và ( Hình

• Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trong điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trong điểm của cạnh thứ ba.

Cụ thể: có ( Hình

Lúc này sẽ là đường trung bình

Ví dụ 3: Cho , lần lượt là trung điểm của

Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là hình bình hành.

Giải

1. có hay là trung điểm

Nên là đường trung bình

1. Tứ giác có nên là hình bình hành.

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Tìm số đo trong các hình sau:

Giải

Hình có là đường trung bình

Hình có là đường trung bình

Hình Ta có mà đồng vị nên

có hay là đường trung bình

Bài 2: Cho cân tại đường cao là trung điểm của . Từ kẻ tia song song với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Giải

1. cân tại nên vừa là đường cao cũng là

trung tuyến

1. có là đường trung bình hay
2. Tứ giác có nên là hình bình hành

Bài 3: Cho có trung tuyến Trên lấy điểm

sao cho cắt tại ( Hình

1. Chứng minh là hình thang.
2. Chứng minh

Giải

1. có là đường trung bình

Nên tứ giác là hình thang.

1. có nên là đường trung bình mà

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho hình thang Lấy lần lượt là

trung điểm các cạnh . ( Hình

1. Chứng minh
2. Tứ giác là hình gì?

Bài 2: Cho có hai đường trung tuyến cắt

nhau tại Gọi lần lượt là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh
2. Tứ giác là hình gì?

Bài 3: Cho hình thang có Gọi lần lượt

là trung điểm của và và Gọi lần lượt

là giao điểm của với và Biết ( Hình

1. Tính .
2. Chứng minh

Bài 4: Cho hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại Trên cạnh lấy điểm sao cho , cắt tại Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh là đường trung bình
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 5: Cho nhọn, đường cao Kẻ

lần lượt vuông góc với Lấy điểm sao cho

là trung điểm của điểm sao cho là trung

điểm của là điểm điểm của ( Hình

1. Chứng minh cân.
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 6: Cho hình thang có , và Gọi là hình chiếu của trên và lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh là hình bình hành.
3. Chứng minh

Bài 7: Cho hình chữ nhật . Kẻ Lấy

lần lượt là trung điểm của Kẻ

và cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là hình bình hành.
3. Chứng minh

Bài 8: Cho hình chữ nhật có Vẽ

Gọi lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh là hình bình hành. ( Hình
2. Chứng minh
3. Gọi là trung điểm của , là giao điểm

của và Chứng minh

Bài 9: Cho hình bình hành có Gọi

lần lượt là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh là hình thoi.
2. Chứng minh
3. Gọi là giao điểm của và là giao

điểm của với Chứng minh

1. Tìm điều kiện của hình bình hành để là hình vuông.

Bài 10: Cho . Lấy các điểm lần lượt trên

sao cho Gọi lần lượt là trung điểm của

và ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

Bài 11: Cho cân tại đường cao

Gọi là hình chiếu của trên Lấy

lần lượt là trung điểm của . ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

Bài 12: Cho đoạn thẳng và một điểm thay đổi trên đoạn . Vẽ các hình vuông và về cùng một phía đối với ( Hình

1. Chứng minh
2. Gọi lần lượt là trung điểm của

. Chứng minh là hình vuông

Bài 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

I. LÝ THUYẾT.

1) Tính chất đường phân giác của tam giác.

Ví dụ 1: Cho , tia phân giác cắt tại

Khi đó ta có các tỉ số sau hoặc

Kết luận:

• Trong một tam giác, đường phân giác của một góc

chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó.

• Trong nếu và thỏa mãn thì là đường phân giác của

Ví dụ 2: Cho có là tia phân giác

Tìm tỉ số bằng với tỉ số .

Giải

là phân giác nên

Ví dụ 3: Cho Hình Tìm số đo

Giải

có là đường phân giác

Nên

• Đường phân giác góc ngoài của một tam giác cũng có

tính chất tương tự. Cụ thể: ( Hình

có là tia phân giác góc ngoài.

hoặc

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho cân tại có Đường

phân giác cắt đường trung tuyến tại ( Hình

1. Tính tỉ số
2. Tính tỉ số

Giải

1. Ta có và cân tại nên

có là đường phân giác nên

1. có là đường phân giác nên

Bài 2: Cho , trung tuyến . Vẽ tia phân giác

cắt tại , tia phân giác cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Giải

1. có là đường phân giác nên
2. có là đường phân giác nên .

Mà . Từ

1. có

Bài 3: Tìm trong Hình

Giải

có là đường phân giác nên

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Tìm trong các hình sau

Bài 2: Cho , phân giác . Trên tia đối của tia lấy sao cho

cắt tại . ( Hình

1. Tính tỉ số
2. Tính tỉ số

Bài 3: Cho vuông tại có là đường cao,

là đường phân giác với cắt tại

1. Tính tỉ số và ( Hình
2. Chứng minh cân tại
3. Chứng minh

Bài 4: Cho vuông tại đường cao Tia phân giác

cắt tại ( Hình

1. Tính tỉ số
2. Từ hạ . Chứng minh

Bài 5: Cho vuông tại phân giác cắt tại

Từ vẽ đường thẳng vuông góc với , đường thẳng này

cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

Bài 6: Cho có đường trung tuyến và là

đường phân giác Từ kẻ đường thẳng song song

với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là đường phân giác

Bài 7: Cho . Trên tia đối của tia lấy điểm

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

là tia phân giác của và là tia phân giác

Chứng minh ( Hình

Bài 8: Cho có là góc tù. Tia phân giác góc ngoài tại

cắt kéo dài tại Từ kẻ đường thẳng song song với

cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

CHƯƠNG 4.

Bài 1. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC.

Bài 1:

Hình mà đồng vị nên . Ta có các hệ thức sau

Hình mà so le nên Ta có các hệ thức sau

Hình . Ta có các hệ thức sau

Bài 2: ( Hình

có và

Nên

Bài 3: ( Hình

có và

Nên

Bài 4: ( Hình

Ta có

có và

Nên

Bài 5: ( Hình

1. có
2. có
3. Từ

Bài 6: ( Hình

1. Xét và có:

( giả thiết)

( đối đỉnh)

( giả thiết)

( hai góc tương ứng) mà so le trong nên

1. có và

Từ

Bài 7: ( Hình

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

Là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

có

có

Từ

Bài 8: ( Hình

1. có
2. có
3. Từ

Bài 9: ( Hình

1. có
2. có

Xét và có:

( giả thiết)

( đối đỉnh)

( so le trong)

( hai cạnh tương ứng)

Khi đó

Bài 10: ( Hình

Xét và có:

( giả thiết)

( đối đỉnh)

( so le trong)

( hai cạnh tương ứng)

có

có

Khi đó

Bài 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

Bài 1: ( Hình

1. có là đường trung bình

1. có là đường trung binh

.

Từ

Mặt khác nên tứ giác là hình bình hành.

Bài 2: ( Hình

1. có là đường trung bình

có là đường trung binh

Từ

1. Tứ giác có nên là hình bình hành.

Bài 3: ( Hình

1. có

Hay là đường trung bình

1. có

Hay là đường trung bình . Vậy

Bài 4: ( Hình

1. là hình bình hành nên là trung điểm

của hai đường chéo

có

Hay là đường trung bình

1. Vì

Mà hay

1. có

Bài 5: ( Hình

1. có vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Nên cân tại

có vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Nên cân tại

Từ cân tại

1. có là đường trung binh

Nên

1. cân tại nên là trung tuyến cũng là đường cao

mà

Bài 6: ( Hình

1. có là đường trung bình

Mà

1. Ta có mà

Lại có là hình bình hành.

1. Vì

có hai đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm

Mà hay

Bài 7: ( Hình

1. có là trực tâm nên

Mà

có

1. Ta có

Lại có . Vậy là hình bình hành.

1. Vì là hình bình hành nên mà .

Bài 8: ( Hình

1. có là đường trung bình

Mà nên

Khi đó là hình bình hành.

1. Vì mà nên

có là trực tâm nên mà

1. là hình bình hành nen hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

có là đường trung bình nên

Bài 9: ( Hình

1. Ta có

Tứ giác có

Nên là hình bình hành. Lại có

Vậy là hình thoi.

1. Tứ giác có là hình bình hành
2. Vì là hình bình hành nên là trung điểm của

Tương tự là trung điểm của

có là đường trung bình nên

1. Ta có là hình bình hành

Lại có là hình bình hành.

là hình thoi nên là hình chữ nhật.

Để là hình vuông thì hay vuông tại

Khi đó là hình chữ nhật.

Bài 10: ( Hình

1. có là đường trung bình nên

có là đường trung bình nên

Từ

1. Tương tự và

Mà nên hay là hình thoi

Bài 11: ( Hình

1. có là đường trung bình

Mà

1. có là đường trung bình

có là trực tâm nên

Từ

Bài 12: ( Hình

1. Xét và có

( giả thiết)

( giả thiết)

( hai cạnh tương ứng)

Và ( hai góc tương ứng)

Gọi cắt tại

Khi đó

1. có là đường trung bình nên

có là đường trung bình nên

Như vậy nên là hình bình hành

Lại có là đường trung bình

Nên là hình thoi.

Mặt khác mà

Lại có . Vậy là hình vuông.

Bài 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài 1:

Hình

có là đường phân giác

Nên

Hình

có là đường phân giác nên

Bài 2: ( Hình

1. có là đường phân giác nên
2. có là đường phân giác nên:

Bài 3: ( Hình

1. có là đường phân giác nên .

có là đường phân giác nên

1. Ta có và

Mà ( giả thiết)

. Vậy cân tại

1. cân tại

Từ

Bài 4: ( Hình

1. có là đường phân giác nên

1. có vì cùng vuông góc với

.

Từ

Bài 5: ( Hình

1. có là đường phân giác nên

1. có vì cùng vuông góc với

Từ kết hợp với

Bài 6: ( Hình

1. có

có là đường trung tuyến nên

Từ

1. Ta có mà .

có nên là phân giác

Bài 7: ( Hình

có là đường phân giác nên

có là đường phân giác nên

Mà nên

Bài 8: ( Hình

1. có là đường phân giác góc ngoài

Nên

1. Từ

có

Từ