Bài Tập Cơ Bản Toán 8 Chương 3 Tứ Giác Có Đáp Án Và Lời Giải

CHƯƠNG 3. TỨ GIÁC.

Bài 1. TỨ GIÁC

I. LÝ THUYẾT.

1) Tứ giác lồi.

Ví dụ 1: Cho các hình sau

Ở Hình , Hình đều được gọi là

các tứ giác.

Kết luận:

• Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng

trong đó không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.

• Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.

Cụ thể: Hình là tứ giác lồi, Hình không phải là tứ giác lồi.

Chương trình học chúng ta chỉ xét đến bài toán là các tứ giác lồi.

• Trong tứ giác thì các điểm là các đỉnh, các đoạn thẳng

là các cạnh. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau gọi là đường chéo, như đường chéo Hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường.

• Trong tứ giác ở Hình ta có các góc có thể viết gọn là

Ví dụ 2: Hình không phải là một tứ giác vì hai đoạn thẳng

cùng nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ 3: Tứ giác ở Hình không phải

là tứ giác lồi vì hai đỉnh nằm về hai phía

của đường thẳng

2) Tổng các góc của một tứ giác.

Ví dụ 4: Cho tứ giác như Hình

Kẻ đường chéo khi đó tổng số đo góc của tứ giác là

Kết luận:

• Tổng các góc của một tứ giác bằng

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Tính số đo trong các hình sau

Giải

Hình Tứ giác có

Vậy

Hình Tứ giác có

Vậy

Hình Tứ giác có

Vậy

Bài 2: Cho Hình

1. Tính
2. Tính

Giải

1. Ta có ( kề bù)

1. Tứ giác có

Bài 3: Cho tứ giác có hai tia phân giác cắt

nhau tại sao cho Tính ( Hình

Giải

có

Vì lần lượt là các tia phân giác nên

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Tính số đo trong các hình sau

Bài 2: Tứ giác có là tia đối của tia

( Hình

1. Tính
2. So sánh và

Bài 3: Tứ giác có là tia phân giác

và ( Hình

Tính

Bài 4: Cho tứ giác có

Hai tia phân giác cắt nhau tại

Tính ( Hình

Bài 5: Cho tứ giác có và

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh là tia phân giác

Bài 6: Cho Hình Biết

1. Chứng minh
2. Tính tổng số đo hai góc đối nhau của tứ giác

Bài 2. HÌNH THANG CÂN.

I. LÝ THUYẾT.

1) Hình thang, hình thang cân.

Ví dụ 1: Cho tứ giác có như Hình

Khi đó tứ giác gọi là hình thang.

Kết luận:

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hai cạnh song song gọi là hai cạnh đáy.
• Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.
• Đường vuông góc từ xuống là gọi là đường cao

Ví dụ 2: Hình thang như Hình có

Hai góc nên gọi là hình thang cân.

Kết luận:

• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
• Trong hình thang cân hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Cụ thể
• Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. Cụ thể

2) Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

• Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau

thì đó là hình thang cân. Cụ thể hình thang

có thì hình thang là hình thang cân.

Ví dụ 3: Cho hình thang có hai đường chéo

cắt nhau tại . Biết . Chứng minh hình thang

là hình thang cân. ( Hình

Giải

Vì là tam giác cân.

.

Lại có ( so le trong)

và ( so le trong) nên

cân nên

Khi đó

Vậy hình thang là hình thang cân.

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho Hình

1. Chứng minh là hình thang.
2. Số đo bằng bao nhiêu thì là hình thang cân.

Giải

1. Ta có mà là hai góc so le trong nên

là hình thang.

1. Để là hình thang cân thì

Bài 2: Cho Hình

1. Cho biết hình thang là hình thang gì?
2. Tính

Giải

1. Hình thang có nên là hình thang cân.
2. là hình thang nên

( trong cùng phía)

Bài 3: Cho hình thang như Hình biết

1. Hình thang là hình thang gì?
2. Chứng minh

Giải

1. Hình thang có hai đường chéo

nên là hình thang cân.

1. là hình thang cân nên

Xét và có

là cạnh chung

( chứng minh trên)

( giả thiết)

( hai góc tương ứng)

Bài 4: Cho , hai đường phân giác góc cắt nhau

tại . Qua kẻ đường thẳng song song với , đường thẳng

này cắt lần lượt tại và ( Hình

1. Tứ giác là các hình gì?
2. Chứng minh

Giải

1. Tứ giác có nên là hình thang.

Tứ giác có nên là hình thang.

1. Vì ( so le trong)

Mà nên cân tại

Chứng minh tương tự cân tại

Khi đó

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho hình thang cân có và ,

biết ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là phân giác

Bài 2: Cho hình thang cân có Lấy lần lượt là trung điểm

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh là đường cao của hình thang.

Bài 3: Cho cân tại hai đường trung tuyến

1. Chứng minh là tam giác cân. ( Hình
2. Chứng minh tứ giác là hình thang cân.

Bài 4: Cho hình thang cân có và , hai đường cao .

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh
3. Chỉ ra

Bài 5: Cho hình thang cân có và

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của

và ( Hình

1. Chứng minh cân tại
2. Chứng minh
3. Chứng minh
4. và trung điểm của thẳng hàng.

Bài 3. HÌNH BÌNH HÀNH.

I. LÝ THUYẾT.

1) Hình bình hành và tính chất.

Ví dụ 1: Cho tứ giác có và

Như hình nên tứ giác gọi là một hình bình hành.

Kết luận:

• Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
• Trong hình bình hành thì:

+ Các cạnh đối bằng nhau và

+ Các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

2) Dấu hiệu nhận biết:

• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.
• Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành Từ hạ lần lượt vuông góc với

Chứng minh tứ giác cũng là hình bình hành.

Giải

Vì là hình bình hành nên

và ( so le trong)

Xét và có:

( giả thiết)

( chứng minh trên)

( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng) và vì cùng vuông góc với

Vậy tứ giác là hình hình hành.

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho hình hình hành như Hình

Biết và là trung điểm của

1. Tính số đo các góc còn lại của hình bình hành.
2. Chứng minh rằng thằng hàng.

Giải

1. là hình bình hành nên

và ( hai góc trong cùng phía)

1. là hình bình hành nên cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà là trung điểm của nên là trung điểm của thẳng hàng.

Bài 2: Cho cân ở có điểm trên cạnh

Kẻ ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành.
2. là tam giác gì?
3. So sánh với

Giải

1. có nên là hình bình hành.
2. cân tại

Mà ( đồng vị) cân tại

1. là hình bình hành nên

cân tại . Vậy

Bài 3: Cho hình bình hành có Tia phân giác của lần lượt cắt tại . ( Hình

1. là tam giác gì?
2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Giải

1. là hình bình hành nên

( so le trong)

Mà nên cân tại

1. là hình bình hành nên

Mà ( trong cùng phía)

Và ( trong cùng phía)

Suy ta . Tứ giác có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho hình bình hành . Trên cạnh lấy điểm

trên cạnh lấy điểm sao cho

1. Chứng minh là hình bình hành. ( Hình
2. Chứng minh là hình bình hành.

Bài 2: Cho , lấy là trung điểm của trên tia

lấy điểm sao cho . Chứng minh tứ giác

là hình bình hành. ( Hình

Bài 3: Cho hình bình hành có Từ vẽ

đường thẳng vuông góc với cắt tại từ vẽ

đường thẳng vuông góc với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh là một hình bình hành.
2. Chứng minh là trung điểm của thì

cũng là trung điểm của

Bài 4: Cho cân tại lấy điểm bất kỳ trên

lấy điểm trên tia đối của tia sao cho Từ

kẻ đường thẳng song song với cắt tại

1. là tam giác gì? ( Hình
2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Bài 5: Cho hình bình hành gọi lần lượt

là trung điểm của . ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là một hình bình hành.

Bài 6: Cho hình bình hành có lần lượt là trung

điểm của và cắt lần lượt tại và

1. Chứng minh là hình bình hành. ( Hình
2. Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Chứng minh

Bài 7: Cho hình bình hành . Gọi lần lượt là trung điểm của và Đường chéo cắt lần lượt tại ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành.
2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
3. Chứng minh
4. Chứng minh

Bài 8: Cho hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại Lấy lần lượt là trung điểm của là giao điểm của và là giao điểm của và

1. Chứng minh là hình bình hành. ( Hình
2. Chứng minh

Bài 9: Cho nhọn, các đường cao cắt nhau tại Đường vuông góc với tại và đường vuông góc với tại cắt nhau tại

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Bài 10: Cho nhọn có Các đường cao cắt nhau tại Gọi là trung điểm của Từ kẻ đường thẳng vuông góc với và từ kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng này cắt nhau tại ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành
2. Chứng minh thẳng hàng.
3. Từ vẽ . Trên tia lấy sao cho Chứng minh tứ giác là hình thang cân.

Bài 11: Cho nhọn biết Các đường cao cắt nhau tại Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
2. Chứng minh
3. Chứng minh rằng là tam giác cân.
4. Vẽ tại Chứng minh

Bài 12: Cho nhọn, các đường trung tuyến

cắt nhau tại Trên tia lấy điểm sao cho là

trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
2. Trên tia lấy điểm sao cho Chứng minh
3. Để là hình thang cân thì cần thêm điều kiện gì?

Bài 13: Cho có là trung điểm của Trên tia

lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
2. Trên cạnh lấy các điểm sao cho

Tia cắt lần lượt tại

và Chứng minh và

Bài 14: Cho vuông cân tại Trên đoạn thẳng lấy điểm Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Vẽ hình bình hành Gọi là giao điểm của và Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
2. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại

Chứng minh

1. Tìm vị trí của trên để thẳng hàng.

Bài 15: Cho vuông tại có đường cao

và trung tuyến Gọi lần lượt là hình chiếu

của trên ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành.
2. Chứng minh là hình thang cân.
3. Lấy sao cho là trung điểm của và sao cho là trung điểm của . Chứng minh thẳng hàng.

Bài 4. HÌNH CHỮ NHẬT.

I. LÝ THUYẾT.

1) Hình chữ nhật.

Ví dụ 1: Cho các hình sau, hình nào là hình chữ nhật.

Kết luận:

• Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
• Tứ giác có ba góc vuông cũng là hình chữ nhật.
• Vì hình chữ nhật cũng là hình thang cân, hình bình hành nên có đầy đủ các tính chất của hai hình này.
• Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hình ta có và

2) Dấu hiệu nhận biết.

• Hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
• Nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương

ứng thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ 2: Cho vuông tại có đường cao

Kẻ Tứ giác là hình gì? ( Hình

Giải

Tứ giác có ba góc vuông là

Nên tứ giác là hình chữ nhật.

Ví dụ 3: Cho vuông tại , là trung điểm của

Từ kẻ và

1. Tứ giác là hình gì? ( Hình
2. Gọi là trung điểm của . Chứng minh

Giải

1. Vì

Và

Xét và có:

( giả thiết)

( đồng vị) ( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng)

Tứ giác có nên là hình bình hành.

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

1. Vì là hình chữ nhật nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho vuông tại có là đường cao, đường trung tuyến Qua kẻ và Đoạn cắt lần lượt tại và

1. Chứng minh ( Hình
2. là tam giác gì?
3. Chứng minh là tam giác vuông.

Giải

1. Vì

Và

Từ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, khi đó hai đường chéo

1. vuông tại có là đường trung tuyến nên cân tại
2. Ta có mà ( đồng vị)

Lại có là hình chữ nhật nên ( so le trong)

Vì cân tại nên . Khi đó

có hay vuông tại

Bài 2: Cho vuông tại có Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh là hình chữ nhật.
2. Lấy điểm sao cho là trung điểm của Chứng minh là hình bình hành.
3. cắt tại Chứng minh

Giải

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

Trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

Lại có nên là hình chữ nhật.

1. Vì là hình chữ nhật nên

Mà và

Tứ giác là hình bình hành.

1. có hai đường trung tuyến cắt nhau tại nên là trọng tâm

Vậy

Bài 3: Cho vuông tại có là trung

điểm Gọi lần lượt là hình chiếu của trên

Lấy sao cho là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh lần lượt là trung điểm của
2. Tứ giác là hình gì?

Giải

1. Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Vì ( cùng vuông góc với ) nên ( đồng vị)

Xét và có:

( giả thiết)

( chứng minh trên) ( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng)

Khi đó ( cùng bằng , ( cùng bằng

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho vuông tại có là đường cao. Gọi và

lần lượt là hình chiếu của xuống Gọi là trung điểm

của là trung điểm của cắt ở

1. Tứ giác là hình gì? ( Hình
2. Chứng minh là tam giác cân
3. Chứng minh và

Bài 2: Cho vuông tại , là trung điểm của Gọi lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đến Gọi lần lượt là trung điểm của

1. Tứ giác là hình gì? ( Hình
2. cần thêm điều kiện gì để là hình chữ nhật.

Bài 3: Cho vuông tại có là trung điểm của

Gọi lần lượt là hình chiếu của trên ( Hình

1. Chứng minh lần lượt là trung điểm của
2. Chứng minh là hình bình hành.
3. Lấy sao cho là trung điểm của

Hạ Chứng minh

Bài 4: Cho vuông tại Điểm trên cạnh

Hạ

1. Tứ giác là hình gì? ( Hình
2. Gọi là đường cao . Tính

Bài 5: Cho vuông tại có là trung điểm của Kẻ Kẻ ( Hình

1. Chứng minh
2. Gọi là đường cao của

Chứng minh là hình thang cân.

Bài 6: Cho vuông tại có đường cao

Từ kẻ Kẻ

Gọi là trung điểm của lấy trên tia sao cho là trung điểm của

1. Chứng minh ( Hình
2. Chứng minh là hình thang cân.
3. cắt tại cắt tại

Chứng minh

Bài 7: Cho vuông tại có là

trung điểm của . Lấy sao cho là trung điểm

của ( Hình

1. Chứng minh là hình chữ nhật.
2. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Gọi là trung điểm của Chứng minh

1. Kẻ Lấy sao cho là trung điểm của

Chứng minh là hình thang cân.

Bài 5: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG.

I. LÝ THUYẾT.

1) Hình thoi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác như Hình có

nên tứ giác này gọi là hình thoi.

Kết luận:

• Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình thoi cũng là hình bình hành nên có tính chất của hình

bình hành.

• Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Trong hình thoi, hai đường chéo là tia phân giác của các góc trong hình thoi.

Cụ thể: Hình và lần lượt là phân giác

2) Dấu hiệu nhận biết.

• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau

là hình thoi.

• Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của

một góc là hình thoi.

Ví dụ 2: Cho nhọn, tia phân giác cắt tại

Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Chứng minh là hình thoi. ( Hình

Giải

Tứ giác có nên là hình bình hành.

Lại có đường chéo là tia phân giác góc

Nên là hình thoi.

3) Hình vuông.

Ví dụ 3: Tìm hình vuông trong các hình sau

Kết luận:

• Hình vuông là tứ giác có góc vuông và cạnh bằng nhau.
• Hình vuông cũng là hình chữ nhật, hình thoi nên có đầy đủ các tính chất của hai hình trên.
• Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và là các đường phân giác của các góc hình vuông.

4) Dấu hiệu nhận biết.

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

Ví dụ 4: Cho Hình Chứng minh là hình vuông.

Giải

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

II. LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho và tia phân giác . Lấy điểm trên

Kẻ lần lượt vuông góc với

Chứng minh là hình vuông.

Giải

Tứ giác có ba góc vuông

Nên là hình chữ nhật.

Lại có nằm trên tia phân giác

Khi đó là hình vuông.

Bài 2: Cho vuông cân tại Trên cạnh lấy hai điểm

sao cho Qua và kẻ các đường thẳng

vuông góc với chúng cắt lần lượt tại

1. Chứng minh là tam giác vuông cân.
2. Chứng minh tứ giác là hình vuông.

Giải

1. vuông cân nên

vuông tại có . Vậy vuông cân tại

1. Chứng minh tương tự câu a ta được vuông cân tại và

Mặt khác và ( cùng vuông góc với

Tứ giác có nên là hình bình hành

Hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

Bài 3: Cho vuông tại đường trung tuyến Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh là hình thoi.
2. Chứng minh là hình bình hành.
3. Tìm điều kiện của để tứ giác là hình vuông.

Giải

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

vuông tại có là đường trung tuyến nên

Vậy hình bình hành có nên là hình thoi.

1. Vì là hình thoi nên và

Tứ giác có nên là hình bình hành.

1. Để là hình vuông thì cần có một góc vuông hay

Khi đó có vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại

Vậy vuông cân tại thì là hình vuông.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho hình bình hành có Gọi lần lượt là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh
2. Tứ giác là hình gì?

Bài 2: Cho hình vuông . Trên các cạnh

lấy lần lượt các điểm sao cho

( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh là hình vuông.

Bài 3: Cho hình vuông Trên cạnh lấy điểm

trên cạnh lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh

Bài 4: Cho hình vuông . Trên cạnh lấy điểm trên cạnh lấy điểm sao cho ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 5: Cho hình vuông Gọi lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh là hình bình hành. ( Hình
2. Chứng minh tại
3. cắt tại Chứng minh

Bài 6: Cho hình chữ nhật Tia phân giác góc cắt nhau tại Tia phân giác góc cắt nhau tại ( Hình

1. Tính các góc
2. Chứng minh
3. cắt tại cắt tại

Chứng minh là hình vuông.

Bài 7: Cho hình chữ nhật có Gọi là trung điểm của và là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh và là hình vuông.
2. Chứng minh vuông cân.
3. Gọi và lần lượt là tâm các hình vuông

Chứng minh là hình vuông.

Bài 8: Cho vuông tại có là

đường trung tuyến. Gọi là đường vuông góc kẻ từ đến

là đường vuông góc kẻ từ đến Trên tia lấy sao cho là trung điểm của ( Hình

1. Tứ giác là hình gì?
2. Gọi là trung điểm của Chứng minh điểm thẳng hàng.
3. cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông.

Bài 9: Cho hình bình hành . Hai đường chéo cắt nhau tại Đường thẳng đi qua cắt lần lượt tại và Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt cạnh và lần lượt tại và ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành.
2. Chứng minh là hình thoi.

Bài 10: Cho hình thoi có Gọi lần lượt trên sao cho ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh là tam giác đều.

Bài 11: Cho hình thoi . Lấy trên và

sao cho Gọi lần lượt là giao điểm của

với Chứng minh là hình thoi. ( Hình

Bài 12: Cho hình thoi có là góc tù. Từ hạ

Từ hạ

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của

và là giao điểm của và ( Hình

1. Chứng minh là trực tâm
2. Chứng minh thẳng hàng.
3. Chứng minh
4. Chứng minh
5. Chứng minh tứ giác là hình thoi.

Bài 13: Cho hình vuông . Từ điểm thuộc cạnh vẽ đường thẳng cắt ở sao cho Kẻ ở ( Hình

1. Chứng minh và
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 14: Cho hình vuông là điểm tùy ý trên cạnh

Tia phân giác của cắt tại Kẻ tại và

tia cắt tại ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh

Bài 15: Cho hình vuông là giao điểm của hai

đường chéo. Hai đường thẳng vuông góc với nhau tại .

Đường thẳng cắt lần lượt tại Đường thẳng

cắt lần lượt ở ( Hình

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Chứng minh là hình vuông.

Bài 16: Cho vuông tại có và trung tuyến ( Hình

1. Chứng minh cân.
2. Từ hạ Trên tia lấy sao cho

. Chứng minh là hình thoi.

1. Gọi là trung điểm của và là điểm trên tia

Sao cho . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

1. cần thêm điều kiện gì về góc để là trực tâm của

Bài 17: Cho hình bình hành có và

Gọi là trung điểm của là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh là hình thoi.
2. Chứng minh là hình thang cân và
3. kéo dài cắt tại Chứng minh đồng quy.

Bài 18: Cho nhọn có Gọi là trung điểm của Lấy điểm trên tia sao cho ( Hình

1. Chứng minh là hình bình hành.
2. Kẻ Chứng minh thẳng hàng.
3. cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông.

Bài 19: Cho đều, là điểm bất kỳ thuộc cạnh lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đến và lần lượt là trung điểm của ( Hình

1. Chứng minh cách đều ba điểm
2. Tính số đo .
3. Chứng minh là hình thoi.

Bài 20: Cho vuông tại trung tuyến Kẻ tại tại

1. Chứng minh là hình chữ nhật. ( Hình
2. Lấy điểm sao cho là trung điểm của

Tứ giác là hình gì?

1. Tìm điều kiện của để tứ giác

là hình vuông.

1. Vẽ đường cao của kẻ ,

Chứng minh

Bài 21: Cho vuông cân tại Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm bất kì. Từ kẻ các đường thẳng vuông góc với lần lượt tại

1. Chứng minh là hình vuông. ( Hình
2. Chứng minh
3. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với tại

Chứng minh

Bài 22: Cho cân tại lần lượt là trung điểm của

và Trên tia lấy điểm sao cho Qua

vẽ đường thẳng vuông góc với cắt tại ( Hình

1. Chứng minh là hình thang và là hình thoi.
2. Chứng minh
3. Kẻ tại là trung điểm của Vẽ điểm

sao cho là trung điểm của Chứng minh

( Sử dụng đường trung bình của tam giác)

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Bài 1. TỨ GIÁC

Bài 1:

Hình Tứ giác có

Vậy

Hình Tứ giác có

Vậy

Hình Tứ giác có

Vậy

Bài 2: ( Hình

1. Tứ giác có

1. Ta có ( Kề bù)

Như vậy

Bài 3: ( Hình

Vì là tia phân giác nên

Tứ giác có

Bài 4: ( Hình

Tứ giác có

Lại có lần lượt là các tia phân giác

Nên

có

Bài 5: ( Hình

1. Ta có mà ( kề bù)

Xét và có:

( giả thiết)

( giả thiết)

( Chứng minh trên)

1. Vì ( hai cạnh tương ứng) cân tại

( tính chất tam giác cân)

Mà

Từ . Hay là tia phân giác

Bài 6: ( Hình

1. Xét và có:

( giả thiết)

là cạnh chung

( giả thiết)

( Hai góc tương ứng)

1. có

Mà là hai tia phân giác hai góc nên

có

Khi đó tứ giác có

Bài 2. HÌNH THANG CÂN.

Bài 1: ( Hình

1. là hình thang cân nên mà

1. có nên cân tại

Mà ( so le trong)

. Vậy là phân giác

Bài 2: ( Hình

1. là hình thang cân nên và

Xét và có:

( giải thiết)

( giả thiết)

( giả thiết)

( hai cạnh tương ứng)

1. Vì cân tại khi đó vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên . Vậy là đường cao của hình thang

Bài 3: ( Hình

1. cân tại .

Mà và

Nên vậy cân tại

1. Vì cân tại

Và cân tại

Từ mà là hai góc đồng vị nên

Do đó là hình thang lại có ( giả thiết) nên là hình thang cân.

Bài 4: ( Hình

1. Xét và có:

( giả thiết)

( giả thiết)

( cạnh huyền – góc nhọn)

1. Vì khi đó là hình thang có hai đáy lại có

hai góc ở đáy là hình thang cân nên

1. Vì ( hai cạnh tương ứng)

Khi đó

Bài 5: ( Hình

1. là hình thang cân nên và

có nên là tam giác cân

Mà hay cân tại

1. là hình thang cân nên

Xét và có:

là cạnh chung

( giả thiết)

( giả thiết)

1. Vì ( hai góc tương ứng)

Mà cân tại

1. Ta thấy nên nằm trên đường trung trực của

nên nằm trên đường trung trực của

Vậy và trung điểm của thẳng hàng.

Bài 3. HÌNH BÌNH HÀNH.

Bài 1: ( Hình

1. là hình bình hành nên

Và nên là hình bình hành.

1. Vì mà

Trừ theo vế ta được

Tứ giác có nên là hình bình hành.

Bài 2: ( Hình

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

Và nên là hình bình hành.

Bài 3: ( Hình

1. Ta có

Lại có nên là hình bình hành.

1. Vì là trung điểm của mà là hình bình hành

Nên là trung điểm của

Mà cũng là hình bình hành nên là trung điểm

của thì cũng là trung điểm của

Bài 4: ( Hình

1. cân tại

Vì ( đồng vị)

Nên vậy là tam giác cân.

1. cân

Tứ giác có

nên là hình bình hành.

Bài 5: ( Hình

và

Xét và có:

( giả thiết)

( hai cạnh tương ứng)

1. Chứng minh tương tự ta được

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

Bài 6: ( Hình

1. Ta có

Và nên tứ giác là hình bình hành.

1. Tứ giác có

nên là hình bình hành

Lại có ( đồng vị) và ( đồng vị)

.

Xét và có:

( chứng minh trên)

( đồng vị)

( chứng minh trên)

( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ( hai cạnh tương ứng)

Vậy

Bài 7: ( Hình

1. Ta có

Tứ giác có và

Nên là hình bình hành.

1. là hình bình hành có cắt tại

Nên là trung điểm của

là hình bình hành nên là trung điểm thì là trung điểm của

Hay thẳng hàng.

1. có là trọng tâm , có là trọng tâm

Mà

Lại có

Vậy

1. là hình bình hành nên mà

Bài 8: ( Hình

1. là hình bình hành nên

Tứ giác có

Nên là hình bình hành.

1. Tứ giác có nên là hình bình hành

mà

Bài 9: ( Hình

1. có là trực tâm nên
2. Ta có

Và

Từ là hình bình hành.

Bài 10: ( Hình

1. Ta có

Và

Từ là hình bình hành.

1. Vì là hình bình hành nên cắt tại trung điểm

của là trung điểm của thẳng hàng.

1. có vừa là đường cao, trung tuyến nên là trung trực của

Khi đó

có là đường trung tuyến và vuông tại

Mà là hình thang.

cân tại lại có là trung trực nên là phân giác

Mà ( so le trong) là hình thang cân.

Bài 11: ( Hình

1. có nên là hình bình hành.
2. là hình bình hành nên mà

Tương tự mà

1. vuông tại có là trung tuyến nên

vuông tại có là trung tuyến nên

Khi đó cân tại

1. và

có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Khi đó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

có hay đường trung tuyến

vuông tại hay

Bài 12: ( Hình

1. có hai đường chéo cắt nhau tại

và nên là hình bình hành.

1. có là trọng tâm nên

Từ

Khi đó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành mà

1. Nhận thấy có nên là hình thang.

Để là hình thang cân thì

Lại có và

Hay có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

Từ hay cân tại thì là hình thang cân.

Bài 13: ( Hình

1. có hai đường chéo cắt nhau tại

là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

1. Xét và có

( đối đỉnh)

( giả thiết)

( so le trong)

( hai cạnh tương ứng)

Mà

Tứ giác có nên là hình bình hành

Bài 14: ( Hình

1. Ta có

Mặt khác vuông tại lại có

vuông cân tại

Từ tứ giác là hình bình hành.

1. Ta có và nên là hình hình hành

là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại nên

vuông tại có là đường trung tuyến nên

Vậy

1. Giả sử thẳng hàng khi đó vuông tại . Lại có

Mà và nên cân tại

Hay khi đó là trung điểm của

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành mà hay là trung điểm của

Bài 15: ( Hình

1. Ta có

Xét và có:

( giả thiết)

( đồng vị)

( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng)

Từ là hình bình hành.

1. là hình bình hành nên là hình thang.

Lại có ( hai cạnh tương ứng)

vuông tại có là trung tuyến nên cân tại

Có là đường cao nên là đường trung tuyến

vuông tại có là đường trung tuyến nên

Từ khi đó hình thang là hình thang cân.

1. là trung điểm của là hình bình hành

là trung điểm của là hình bình hành

Từ thẳng hàng.

Bài 4. HÌNH CHỮ NHẬT.

Bài 1: ( Hình

1. Tứ giác có góc vuông

Nên là hình chữ nhật.

1. có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Nên cân tại

1. là hình chữ nhật nên hai đường chéo

Bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay

khi đó cân tại

Và cân tại .

Do đó hay

Chứng minh tương tự cho khi đó ( cùng vuông góc với

Bài 2: ( Hình

1. Ta có

( đồng vị)

là các tam giác vuông có các đường

trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

mà .

Lại có

Từ mà đồng vị nên .

Tứ giác có nên là hình bình hành.

1. vuông tại có là đường trung tuyến nên cân tại

Từ mà đồng vị nên

Để hình bình hành là hình chữ nhật thì cần mà . Khi đó là đường cao hay cân tại

Bài 3: ( Hình

1. Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

và

Xét và có:

( giả thiết)

( đồng vị)

( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng)

Khi đó

1. Tứ giác có nên là hình bình hành.
2. Tứ giác có

Lại có mà

Nên là hình bình hành lại có

Nên là hình chữ nhật. Khi đó cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đường hay

vuông tại có là trung tuyến

nên . Khi đó vuông tại

Bài 4: ( Hình

1. Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
2. là hình chữ nhật nên hai đường chéo

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

vuông tại có là đường trung tuyến

có là đường trung tuyến mà vuông tại

Bài 5: ( Hình

1. Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo

vuông tại có là đường trung tuyến

Nên

1. Vì ( đồng vị)

Xét và có:

( giả thiết)

( chứng minh trên) ( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng) mà nên là hình bình hành

là hình thang.

Vì hay là trung điểm của

Lại có vuông tại có là đường trung tuyến nên mà

nên .

Vậy hình thang có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân

Bài 6: ( Hình

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

1. Vì là hình thang.

là hình bình hành nên

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó cân tại

mà ( so le trong)

Từ . Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

1. có hai đường trung tuyến cắt nhau tại nên là trọng tâm.

mà . Thay vào ta được

Bài 7: ( Hình

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau

Tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có nên là hình chữ nhật.

1. là hình chữ nhật

và nên là hình bình hành

khi đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường, hay

1. Ta có vuông góc với tại trung điểm của nên là đường trung trực của . Khi đó

có đường trung tuyến mà vuông tại

Ta có vì cùng vuông góc với là hình thang

Lại có và vuông tại có là trung tuyến nên

Khi đó hình thang có hai đường chéo nên là hình thang cân.

Bài 5: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG.

Bài 1: ( Hình

1. là hình bình hành nên

Tứ giác có

nên là hình bình hành.

Lại có vuông tại có là đường trung tuyến nên

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường

chéo vuông góc với nhau

1. Tứ giác là hình thoi.

Bài 2: ( Hình

1. là hình vuông nên

Mà . Trừ theo vế ta được

1. Xét và có:

( chứng minh trên)

( giả thiết)

1. Từ hai cạnh tương ứng.

Chứng minh tương tự câu b cho và

Khi đó và

Mà

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có nên là hình vuông.

Bài 3: ( Hình

1. Xét và có:

( giả thiết)

( giả thiết)

( hai cạnh tương ứng)

1. Từ ( hai góc tương ứng)

Mà

Bài 4: ( Hình

1. Xét và có

( giả thiết)

( giả thiết)

1. Từ ( hai góc tương ứng)

1. Giả sử cắt tại

có vuông tại hay

Bài 5: ( Hình

1. là hình vuông nên

Tứ giác có nên là hình bình hành.

1. Xét và có:

( giả thiết)

( chứng minh trên)

( hai góc tương ứng) mà

Vậy vuông tại hay tại

1. Ta có

vuông tại có là trung tuyến nên cân tại

Mà là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

Bài 6: ( Hình

1. lần lượt là hai tia phân giác

Nên

có

1. Chứng minh tương tự vuông cân tại

Xét và có:

( giả thiết)

( cạnh huyền – góc nhọn)

1. có vuông cân tại

Tứ giác có a góc vuông nên là hình chữ nhật.

Lại có ( hai cạnh tương ứng) mà

Nên hay là hình vuông.

Bài 7: ( Hình

1. Vì

là hình chữ nhật nên

. Tứ giác có

Nên là hình bình hành, lại có

Nên là hình thoi.

Lại có là hình vuông. Chứng minh tương tự cho tứ giác

1. Vì là hình vuông nên là tia phân giác

Tương tự . cân có nên là tam giác vuông cân.

1. Vì là các hình vuông, nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên và là hình thoi.

Lại có nên là hình vuông.

Bài 8: ( Hình

1. Tứ giác có nên là hình chữ nhật.
2. Vì là hình chữ nhật nên

Xét và có:

( giả thiết)

( đồng vị) ( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng) mà và

Do đó . Tứ giác có nên là hình bình hành.

Nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay thẳng hàng.

1. Đề hình chữ nhật là hình vuông thì

Mà và

Từ cần thêm điều kiên cân tại

Bài 9: ( Hình

1. là hình bình hành nên hai đường chéo

Cắt nhau tại là trung điểm của mỗi đường

Xét và có:

( giả thiết)

( so le trong)

( đối đỉnh)

( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ( hai cạnh tương ứng)

có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

1. Hình bình hành có hai đường chéo nên là hình thoi.

Bài 10: ( Hình

1. đều nên

mà

Xét và có:

( giả thiết)

( chứng minh trên)

( đều)

( hai góc tương ứng)

1. Ta có có ( hai cạnh tương ứng) nên cân tại

Lại có . Vậy đều.

Bài 11: ( Hình

Ta có là hình thoi nên tại trung điểm

của mỗi đường nên là trung trực của

và là trung trực của

Từ nên là hình thoi.

Bài 12: ( Hình

1. có hai đường cao cắt nhau tại

Nên là trực tâm

1. là hình thoi nên tại

nên thẳng hàng

Từ câu a tại nên

Tương tự là trực tâm tại

Nên

Từ thẳng hàng.

1. Vì là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là trung trực của

và . Cộng theo vế

1. là hình thoi nên

Tứ giác có

Tứ giác có

Từ

1. và mà

Lại có ( đối đỉnh và ( đối đỉnh) nên cân tại

nên là hình thoi.

Bài 13: ( Hình

1. Xét và có:

là cạnh chung

( giả thiết)

( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng) mà

1. Xét và có:

là cạnh chung

( chứng minh trên) ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

1. Từ ( hai góc tương ứng)

Từ ( hai góc tương ứng)

Vậy

Bài 14: ( Hình

1. Xét và có:

là cạnh chung

( giả thiết) ( cạnh huyền – góc nhọn)

1. Từ ( hai cạnh tương ứng)

Mà

Xét và có:

là cạnh chung

( chứng minh trên) ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

1. Từ ( hai góc tương ứng)

Khi đó

Bài 15: ( Hình

1. Ta có và

Mặt khác

Xét và có

( giả thiết)

( chứng minh trên)

1. Từ ( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho và

Rồi suy ra và . Khi đó

1. Tứ giác là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Lại có có và nên là tam giác vuông cân tại

, Tương tự

Hình thoi có nên là hình vuông.

Bài 16: ( Hình

1. vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên cân tại

1. cân tại nên là đường cao nên cũng là trung tuyến

.

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại

trung điểm của mỗi đường nên là hình thoi.

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Mỗi đường nên là hình bình hành

Mặt khác là hình thoi nên

Từ thẳng hàng.

1. Ta có là trung điểm của

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, lại có là hình chữ nhật.

Chứng minh cân tại

Khi đó để là trực tâm thì hoặc hay vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác đều thì còn là tia phân giác .

Vậy cần có thì là trực tâm của

Bài 17: ( Hình

1. Ta có và

Nên là hình bình hành.

Lại có nên là hình thoi

1. là hình thang.

Lại có mà là phân giác

Vậy là hình thang cân.

1. có nên là tam giác cân.

Xét và có:

( giả thiết)

( đối đỉnh)

( so le trong)

( hai cạnh tương ứng)

Khi đó là đường trung tuyến,

Và ( hai cạnh tương ứng) mà là đường trung tuyến.

có ba đường trung tuyến nên đồng quy.

Bài 18: ( Hình

1. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

1. Ta có

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà là trung điểm của thẳng hàng.

1. Để tứ giác là hình vuông thì ta cần hay vuông cân tại

Bài 19: ( Hình

1. vuông tại có là trung tuyến nên

vuông tại có là trung tuyến nên

đều nên là đường trung tuyến cũng là đường cao

vuông tại có là trung tuyến nên

Vậy ba điểm cách đều điểm một khoẳng bằng

1. có nên là tam giác cân.

Lại có cân tại ( góc ngoài của )

Và cân tại ( góc ngoài của )

Khi đó

đều nên là trung tuyến còn là tia phân giác . Vậy

1. Ta có có cân tại

Nên

cân tại lại có đều

nên tứ giác là hình thoi.

Bài 20: ( Hình

1. Tứ giác có

Nên là hình chữ nhật.

1. Vì ( so le)

Xét và có:

( giả thiết)

( so le trong) ( cạnh huyền – góc nhọn)

( hai cạnh tương ứng) mà

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có là hình thoi.

1. Để là hình vuông thì hay vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên vuông cân tại
2. Giả sử cắt tại và cắt tại

Khi đó có cân tại

cân tại

Nên vuông tại

Bài 21: ( Hình

1. Tứ giác có

nên là hình chữ nhật.

vuông cân tại có là trung tuyến nên

cũng là đường phân giác .

Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác

nên là hình vuông.

1. vuông tại có nên vuông cân tại

mà đồng vị nên

1. Gọi là giao của với

vuông tại có là đường trung tuyến nên

có là đường trung tuyến mà vuông tại

Bài 22: ( Hình

1. cân tại nên vừa là trung tuyến cũng là đường cao.

vuông tại có là trung tuyến nên

cân tại

Mà mà đồng vị

nên hay là hình thang.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại

là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có là hình thoi.

1. Ta có

( so le trong)

Xét và có

( đối đỉnh)

( giả thiết)

( so le trong)

( hai cạnh tương ứng) mà

1. Lấy là trung điểm của Khi đó là đường trung bình

mà

có là trực tâm nên

Mà là đường trung bình nên . Vậy