Đề Khảo Sát Chọn HSG Toán 8 Phòng GD&ĐT Hải Hậu 2022-2023 Có Đáp Án

PHÒNG GD&ĐT HẢI HẬU

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN - LỚP 8

Năm học 2022-2023

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh: ......................................

Họ tên, chữ kí GT số 1: ..........................................

Số BD: ................. Phòng thi số: …………

Họ tên, chữ kí GT số 2: ……………......................

PHÒNG GD&ĐT HẢI HẬU

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHỌN HSG

MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2022-2023

Câu

Nội dung

Điểm

1

Cho biểu thức:

1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của P với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức:

4.0

1.1

ĐKXĐ:

Khi đó:

0.5

0.5

0.5

0.5

1.2

Vì

0.5

0.5

0.5

0.5

2

1. Tìm a và b để đa thức : chia hết cho đa thức
2. Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.

4.0

2.1

Ta có :

dư

f(x) chia hết cho g(x) khi và chỉ khi số dư bằng 0.

Kết luận

1.0

1.0

2.2

Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3

Xét tích:

Dễ dàng nhận thấy:

Vậy P không thể là số chính phương

0.5

0.5

0.5

0.5

3

1. Cho giải phương trình ẩn x:

2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn

3.0

3.1

Với ta có:

Ta thấy (*) không xảy ra vì

Vậy nghiệm của phương trình là

0.25

0.25

0.25

0.25

3.2

Ta có:

Lại có:

Nên ta có 2 trường hợp sau:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

4

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có D là trung điểm của BC. Trên AD lấy điểm M bất kì, Gọi E và F là hình chiếu của M trên AB, AC.

1. Chứng minh EF song song với BC.
2. Kẻ EN vuông góc với FD.

a. Tính góc

b. Chứng minh NE là phân giác của

3. Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.

7.0

4.1

Ta có vuông cân ở A, có AD là đường trung tuyến

AD đồng thời là đường cao, đường phân giác của

Xét tứ giác AEMF có

tứ giác AEMF là hình chữ nhật (dhnb).

Lại có AD là phân giác của

tứ giác AEMF là hình vuông

Mà

0.5

0.5

0.5

0.5

4.2a

Gọi O là giao điểm của AM và EF. Tứ giác AEMF là hình vuông

và (t/c)

Xét vuông tại N có NO là trung tuyến ứng với cạnh huyền EF nên (t/c).

Mà vuông tại N

0.5

0.5

0.5

4.2b

Theo tính chất góc ngoài của hai tam giác cân và ta có

NE là phân giác của

0.5

0.5

0.5

4.3

Từ C kẻ tia Cx vuông góc với FD tại I và cắt AB tại K.

Gọi P và Q theo thứ tự là hình chiếu của B trên FD và EN ta c/m được tứ giác BPNQ là hình chữ nhật.

Ta có (đồng vị)

Mà ,

Lại có

(cạnh huyền- góc nhọn)

Chứng minh (cạnh huyền- góc nhọn) Tứ giác BPNQ là hình vuông

nên NE là phân giác của

Mà (cmt) thẳng hàng

0.5

0.5

0.5

0.5

5

1. Cho ba số dương x,y,z thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2. Trên 6 đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Ta thay đổi các số như sau: Mỗi lần chọn một cạnh bất kì rồi cộng mỗi số ở hai đỉnh thộc cạnh đó với cùng một số nguyên nào đó. Hỏi sau một số lần thay đổi như thế thì 6 số mới ở các đỉnh lục giác có thể bằng nhau không? Vì sao?

2.0

5.1

Ta có:

(luôn đúng với mọi )

Do đó

Tương tự

. Dấu “=” xảy ra

Vậy GTLN của P là 1

0.25

0.25

0.25

0.25

5.2

Gọi các số chẵn ghi ở 6 đỉnh của lục giác lồi lúc đầu theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là

Vì đó là các số chẵn liên tiếp nên ta có

Mỗi lần thay đổi thì hai số ở hai đỉnh kề nhau (theo thứ tự trên, coi kề với) đều cộng thêm cùng một số nên hiệu trên luôn không đổi và luôn bằng 6.

Nếu 6 số mới ở các đỉnh lục giác lồi đều bằng nhau thì hiệu trên

bằng 0 nên sau một số lần thay đổi như thế thì 6 số mới ở các đỉnh lục giác không thể bằng nhau.

0.25

0.25

0.25

0.25