Đa Thức Và Tính Chia Hết Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC

Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia.

A.Bài toán

Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:

cho đa thức

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức

Bài 5: Tìm số dư trong phép chia cho

Bài 6: a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức

b) Cho và Chứng minh với mọi thì thương của phép chia cho B là bội số của 6

Bài 7:

a) Tìm số dư trong phép chia đa thức cho

b) Tìm mọi số nguyên sao cho chia hết cho

Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho

Bài 9: Tìm dư khi chia cho

Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức cho

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức

Lời giải

Ta có:

Đặt , Biểu thức được viết lại

Do đó khi chia cho ta có số dư là

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:

cho đa thức

Lời giải

Đặt

Đặt

Ta có:

Vậy số dư của phép chia là

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức

Lời giải

Ta có:

Đặt biểu thức được viết lại:

Do đó khi chia cho t ta có số dư là

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức

Lời giải

Đặt , biểu thức được viết lại

Do đó khi chia cho ta có số dư là

Bài 5: Tìm số dư trong phép chia cho

Lời giải

Ta có:

Đặt ta có:

Vậy ta có

Vậy số dư trong phép chia cho là 2018.

Bài 6: a)Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức

b)Cho và Chứng minh với mọi thì thương của phép chia cho B là bội số của 6

Lời giải

1. Ta có:

Đặt , biểu thức được viết lại:

Do đó khi chia cho t ta có số dư là

1. Thực hiện phép chia , ta được:

Thương của A chia cho B là

Ta có:

Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

Và chia hết cho 6

Thương của phép chia cho B là bội số của

Bài 7:

a) Tìm số dư trong phép chia đa thức cho

b) Tìm mọi số nguyên sao cho chia hết cho

Lời giải

a) Đặt

Ta có:

Vậy số dư trong phép chia cho là

b) Thực hiện phép chia đa thức cho , ta được: Đa thức thương: đa thức dư:

Suy ra :

Do đó

Vì nên:

Vì nên xảy ra một trong hai trường hợp sau:

không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy

Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho

Lời giải

Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia dư 4 => f(-1) = 4.

Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng .

Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có :

Mà f(x) chia cho dư (1)

Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có :

Vậy đa thức dư cần tìm có dạng:

Bài 9: Tìm dư khi chia cho

Lời giải

Đặt

Gọi thương khi chia cho là dư là

Ta có:

Đẳng thức trên đúng với mọi nên

• Với ta được
• Với ta được:

Từ (1) và (2) suy ra , Dư phải tìm là

Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức cho

Lời giải

Gọi đa thức dư trong phép chia là

Khi đó ta có:

Thay vào ta có:

Thay vào ta có:

Từ đó suy ra . Vậy số dư là

Dạng 2: Tìm Đa Thức .

A.Bài toán

Bài 1: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư chia cho dư 24, chia cho được thương là và còn dư

Bài 2: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư 10, chia cho dư 22, chia cho được thương là và còn dư

Bài 3: Tìm đa thức biết rằng : chia cho dư 10, chia cho dư 26, chia cho được thương là và còn dư

Bài 4: Tìm đa thức , biết chia cho dư 5, chia cho dư 7, chia cho được thương là và còn dư.

B.Lời giải

Bài 1: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư chia cho dư 24, chia cho được thương là và còn dư

Lời giải

Giả sử chia cho được thương là và còn dư

Khi đó :

Theo đề bài, ta có:

Do đó :

Vậy đa thức cần tìm có dạng:

Bài 2 : Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư 10, chia cho dư 22, chia cho được thương là và còn dư

Lời giải

Giả sử chia cho được thương là và còn dư là

Khi đó:

Theo đề bài, ta có:

Do đó:

Vậy đa thức cần tìm có dạng:

Bài 3: Tìm đa thức biết rằng : chia cho dư 10, chia cho dư 26, chia cho được thương là và còn dư

Lời giải

Giả sử chia cho được thương là và còn dư là Khi đó

Theo đề bài, ta có:

Do đó

Vậy đa thức cần tìm là

Bài 4: Tìm đa thức , biết chia cho dư 5, chia cho dư 7, chia cho được thương là và còn dư.

Lời giải

Từ đó suy ra :

Tìm ra

Thay vào ta có đa thức

Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức .

A.Bài toán

Bài 1: Tính giá trị A = x¹⁵ – 8x¹⁴ + 8x¹³ – 8x¹² + ... - 8x² + 8x + 1 với x = 7

Bài 2: Cho đa thức (với ). Biết đa thức chia cho thì dư 12, chia cho thì dư . Tính giá trị của biểu thức:.

Bài 3: Cho Tính

Bài 4:Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Bài 5: Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết .

Hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 6: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Bài 7: Cho hai đa thức Gọi là các nghiệm của Tính giá trị của

Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn

Tính

Bài 9: Cho đa thức

a) Tìm để chia hết cho

b) Với vừa tìm được ở câu hãy tìm số dư khi chia cho và phân tích ra các thừa số bậc nhất

1.2) Cho đa thức

Biết Tính

Bài 10: Cho với

Tính giá trị biểu thức

Bài 11: Cho . Tính ?

B.Lời giải

Bài 1: Tính giá trị A = x¹⁵ – 8x¹⁴ + 8x¹³ – 8x¹² + ... - 8x² + 8x + 1 với x = 7

Lời giải

Thay 8 bằng x + 1 ta có

A = x¹⁵ – (x+1).x¹⁴ + (x+1)x¹³ – (x+1)x¹² + ... – (x + 1)x² + (x+1)x + 1

= x¹⁵ – x¹⁵ – x¹⁴ + x¹⁴ + x¹³ – x¹³ – x¹² +... – x³ – x² + x² + x + 1 = x + 1 = 7 +1 = 8

Bài 2: Cho đa thức (với ). Biết đa thức chia cho thì dư 12, chia cho thì dư . Tính giá trị của biểu thức:.

Lời giải

Gọi thương của phép chia cho và lần lượt là và . Suy ra (1)

(2)

Thay vào (1) ta có

Thay vào (2) ta có

.

Bài 3:

Cho Tính

Lời giải

nhận hai giá trị là 0 hoặc

Bài 4: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Lời giải

Đa thức chia hết cho các đa thức nên:

Từ và ta tìm được

Vậy

Bài 5: Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết .

Hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Nên có dạng

Khi đó:

Bài 6: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Lời giải

Đa thức chia hết cho các đa thức nên:

Từ và ta tìm được

Vậy

Bài 7: Cho hai đa thức Gọi là các nghiệm của Tính giá trị của

Lời giải

Ta có :

Do đó

Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn

Lời giải

Tính Nhận xét: thỏa mãn

là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm

Vậy ta có:

Bài 9: Cho đa thức

a) Tìm để chia hết cho

b) Với vừa tìm được ở câu hãy tìm số dư khi chia cho và phân tích ra các thừa số bậc nhất

1.2) Cho đa thức

Biết Tính

Lời giải

Để thì

b) Với

Phân tích ra tích các thừa số bậc nhất:

1.2 ) Vì

Mà

Bài 10: Cho với

Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Biến đổi giả thiết về dạng:

Với tính được:

Với tính được:

Bài 11: Cho . Tính ?

Lời giải

ĐKXĐ : .

Ta có :

Vậy, với .

Dạng 4: Chứng Minh

A.Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho

Bài 2: Chứng minh:

a) chia hết cho .

b) chia hết cho , với .

Bài 3:Chứng minh rằng:

a) Đa thức chia hết cho đa thức

b) Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Bài 4: Chứng minh chia hết cho với mọi

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6

Bài 6: Chứng minh rằng: với mọi

Bài 7: Cho với là các số thỏa mãn

Chứng tỏ rằng

Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho khi và chỉ khi

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên nào để giá trị của biểu thức chia hết cho giá trị của biểu thức

Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .

B.Lời giải

Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho

Lời giải

Đa thức g(x) = x² – x = x(x – 1) có hai nghiệm là x = 0; x = 1.

Ta có là nghiệm của f(x).

Suy rachứa thừa số x

Ta có : là nghiệm của f(x)

f(x) chứa thừa số x – 1 mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung do đó f(x) chia hết cho

x( x – 1).

Vậy chia hết cho

Bài 2:Chứng minh:

a) chia hết cho .

b) chia hết cho , với .

Lời giải

a) chia hết cho .

Ta có :

Xét tại thì

Vậy, chia hết cho .

b) chia hết cho , với .

Ta có: (1)

Mặt khác,

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy, chia hết cho , với .

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) Đa thức chia hết cho đa thức

b) Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Lời giải

a) Ta có:

Vậy, (đpcm)

b)Ta có:

Với thì , còn là số nguyên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Bài 4: Chứng minh chia hết cho với mọi

Lời giải

Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6

, suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6

Lời giải

Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà nên chia hết cho 6

chia hết cho 6

Nên chia hết cho 6

Bài 6: Chứng minh rằng: với mọi

Lời giải

Đặt

Ta thấy chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

Và chia hết cho 3

Nên chia hết cho 9

Bài 7: Cho với là các số thỏa mãn

Chứng tỏ rằng

Lời giải

Có nên:

Hoặc: và (1)

Hoặc : và là hai số đối nhau (2)

Từ và được

Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho khi và chỉ khi

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử:

Lời giải

Đặt với với

Ta thấy: và

Vậy

với

và và

và và

Điều phải chứng minh.

Áp dụng:

Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên nào để giá trị của biểu thức chia hết cho giá trị của biểu thức

Lời giải

Chia cho dư 3

Vì là số chẵn nên Ư(3).

Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .

Lời giải

Đặt , ta có:

Khi đó, với mọi giá trị của (Đpcm )

Dạng 5: Xác định số

A.Bài toán

Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ để đa thức chia hết cho đa thức

b) Tìm đa thức bậc ba , biết rằng khi chia cho , cho , cho đều dư 6 và

Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức chia hết cho

Bài 3:Xác định các số hữu tỉ và sao cho:

a) chia hết cho ;

b) chia hết cho .

Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ và sao cho chia hết cho

Bài 5: Tìm các số nguyên và để đa thức chia hết cho đa thức

Bài 6: Tìm sao cho chia hết cho đa thức .

Bài 7: Tìm giá trị nguyên của để đa thức chia hết cho

Bài 8: Cho đa thức Với giá trị nguyên nào của thì giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức

Bài 9: Tìm giá trị của để

Bài 10: Tìm nguyên để chia hết cho

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của để biếtvà .

Bài 12:

a) Tìm sao cho chia hết cho đa thức

b) Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên sao cho: chia hết cho

Bài 14: Cho đa thức bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết ; Tìm đa thức

Bài 15: Cho đa thức . Xác định hệ số biết rằng khi chia A cho , chia A cho đều có cùng một số dư

Bài 16: Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên

Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng

Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là ước số của

Bài 19:

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh :

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Bài 20: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Bài 21: Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Bài 22: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.

B.Lời giải

Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ để đa thức chia hết cho đa thức

b) Tìm đa thức bậc ba , biết rằng khi chia cho , cho , cho đều dư 6 và

Lời giải

a) Gọi thương của phép chia cho đa thức là , ta có :

= .

Đẳng thức trên đúng với mọi nên với ta có:

Vậy, chia hết cho đa thức thì .

b) Từ đề bài suy ra chia hết cho , cho , cho

Do đó, chia hết cho .

Đặt với . ( vì có bậc là ba )

Suy ra với .

Theo giả thiết , do đó

Vậy,

Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức chia hết cho

Lời giải

ĐKXĐ:

Áp dụng định lí Bézout:

Số dư của chia cho là

Để chia hết cho thì , suy ra

Bài 3:Xác định các số hữu tỉ và sao cho:

a) chia hết cho ;

b) chia hết cho .

Lời giải

a) chia hết cho ;

Ta có:

Do đó, để chia hết cho thì .

b) chia hết cho .

Ta có chia hết cho được thương có dạng

Ta viết: với mọi

Tính

Khi đó, với mọi

Đồng nhất thức hai vế, ta được

Vậy, .

Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ và sao cho chia hết cho .

Lời giải

Phép chia hết của cho có đa thức thương dạng .

Ta viết với mọi

Ta có:

Suy ra với mọi

Đồng nhất thức hai vế, ta được:

Suy ra

Vậy,

Bài 5: Tìm các số nguyên và để đa thức chia hết cho đa thức

Lời giải

Ta có:

Để thì

Bài 6: Tìm sao cho chia hết cho đa thức

Lời giải

Ta có:

Vì chia hết cho đa thức

Nên tồn tại một đa thức sao cho

Với

Với

Thay vào ta có: và

Bài 7: Tìm giá trị nguyên của để đa thức chia hết cho

Lời giải

Thực hiện phép chia cho

Ta được thương là dư là 3

Để thì mà nên

Vậy thì

Bài 8: Cho đa thức Với giá trị nguyên nào của thì giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức

Lời giải

Chia cho được thương là dư

Để chia hết cho thì chia hết cho

chia hết cho

chia hết cho

chia hết cho

chia hết cho mà

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy với thì chia hết cho

Bài 9: Tìm giá trị của để

Lời giải

Thương: và dư:

Phép chia hết nên

Bài 10: Tìm nguyên để chia hết cho

Lời giải

Thực hiện phép chia cho được kết quả:

Để phép chia hết thì phải chia hết cho

Tìm thử lại và kết luận

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của để biếtvà .

Lời giải

Xét

với thì Akhi

Mà Ư(7)=thì

Bài 12:

a) Tìm sao cho chia hết cho đa thức

b) Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

Lời giải

a) Ta có:

Vì chia hết cho đa thức

Nên tồn tại một đa thức sao cho

Với

Với

Thay (1) vào (2), ta có:

b) Ta có:

Vì

Có: và

Vậy là số nguyên tố thì

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên sao cho: chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Vì là số nguyên nên là số nguyên. Do đó để chia hết cho thì phải là ước số của

Mặt khác:

Do đó: hoặc hoặc

Giải từng trường hợp suy ra:

Bài 14: Cho đa thức bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết ; Tìm đa thức

Lời giải

Xét có

Ta có thì bậc 4 hệ số của là 1 và

Vậy

Bài 15: Cho đa thức . Xác định hệ số biết rằng khi chia A cho , chia A cho đều có cùng một số dư

Lời giải

Giả sử

Cho thì từ ta có:

Cho thì từ ta có:

Do đó :

Bài 16: Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên

Lời giải

Giả sử :

Khử ta có:

Vì nguyên ta có:

Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng

Lời giải

Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là ước số của

Lời giải

là ước số của

Điều nảy xảy ra khi là ước nguyên dương của gồm:

Từ đó ta tìm được

Bài 19:

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh :

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

1. Theo phần a ta có:

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5,
1 bội của 7. Mà nên

Bài 20: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Lời giải

1. ĐKXĐ:

1. nguyên, mà nguyên nên từ đó tìm được

Vậy

1. Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

Bài 21: Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Lời giải

Ta có:

Với thì , còn là số nguyên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.

Bài 22: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.

Lời giải

Vì là một số tự nhiên chẵn nên .

Do đó

Ta có:

Ta cần c/m: . Thật vậy:

+ Nếu thì

+ Nếu thì

+ Nếu thì

Mà

Vậy, có giá trị nguyên với là một số tự nhiên chẵn.