3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
• Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tính độ dài 
, 
trong các hình vẽ sau:
Hình 1 | 
Hình 2 |
Bài 2: Cho tam giác 
có 
các đường phân giác 
và 
cắt nhau ở 
a) Tính các độ dài 
b) Tính các độ dài 
Bài 3: Cho tam giác cân 
có 
Đường phân giác góc 
cắt 
tại 
đường phân giác góc 
cắt 
tại 
Chứng minh 
// 
Bài 4: Cho 
có 
, 
, 
là các đường phân giác. Chứng minh rằng: 
.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của 
và 
cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD.
Bài 6: Cho 
có phân giác
, biết
.
a) Tính tỉ số diện tích của 
và 
theo 
và 
.
b) Vẽ phân giác 
của 
và vẽ phân giác 
của 
. Chứng minh rằng: 
.
Bài 7: Cho , trung tuyến 
, đường phân giác của 
cắt 
ở 
, đường phân giác của 
cắt 
ở 
.
a) Chứng minh rằng 
.
b) Gọi 
là giao điểm của 
và 
. Chứng minh rằng 
c) Tính 
, biết 
d) phải thêm điều kiện gì để ta có 
e) Chứng minh rằng cân nếu biết 
.
Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: 
Tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD. Biết rằng BC = 10cm và 2AB = 3AC.
Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD.
KQ: BD = 6 cm; CD = 4cm.
Bài 2: Gọi Ai là đường phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là các đường phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: 
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại M , đường phân giác của góc C cắt AB tại N. Biết rằng 
, tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
KQ: AB = 4cm; AC = 6cm, BC = 8 cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, 
đường phân giác BD.
a) Tính các độ dài DA, DC.
b) Tia phân giác của 
cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1:
Hình 1 |
Hình 2 |
a) Xét 
có 
là đường phân giác trong nên: 
Hay 
b) Xét 
có 
là đường phân giác ngoài nên:
(1)
Mà là trung điểm của đoạn thẳng 
nên:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Bài 2: 
a) Theo tính chất đường phân giác: 
Do đó, 
b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác: 
Do đó, 
Bài 3: 
là phân giác của 
nên 
là phân giác của 
nên 
Lại có: 
Suy ra: 
// 
Bài 4: Xét 
, áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
(1)
(2)
(3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được:
.
Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC.
Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: 
Tương tự, 
;
Mà 
, suy ra 
Từ đó, ta có:
Suy ra 
Bài 6: 
a) Vẽ đường cao 
của 
.Vì có phân giácnên:
. Vậy 
b) Ta có: 
(do 
là phân giác 
)
(do 
là phân giác 
)
Bài 7: a) Ta có
(do 
là phân giác của 
)
(do 
là phân giác của 
)
Mà 
(
là trung điểm của 
)
b) Xét 
và 
lần lượt có 
và 
.
Mà 
c) Ta có: . Mà 
(do 
)
Ta lại có:
( do )
(do 
)
d) Để 
ta cần tứ giác 
là hình chữ nhật
Hay 
Khi 
thì 
(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
)
cân tại 
(đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao
Mà 
. Suy ra 
. Suy ra tứ giác là hình chữ nhật
Vậy 
vuông tại 
thì 
.
e) Khi 
thì 
cân tại 
có 
là trung tuyến (
) nên đồng thời là đường cao 
Mà 
(cmt) nên 
có 
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân.
Bài 8: 
Ta có 
.
Suy ra ∆AIE cân tại A ⇒ 
(1).
Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: 
(2); 
(3)
Từ (2) và (3) suy ra: 
Vì ∆ABC vuông cân tại A nên 
Từ đó kết hợp với (4) suy ra 
.
là phân giác trong của 
không cân ở 
) 
