8. ĐỐI XỨNG TÂM
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
•
Hai điểm đối xứng nhau qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua một điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
đối xứng với 
qua 
là trung điểm của 
Khi đó ta còn nói:
đối xứng với qua hoặc 
và 
đối xứng nhau qua 
• Quy ước: Điểm đối xứng với điểm 
qua điểm 
là chính nó.
• Hai hình đối xứng nhau qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm 
nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm bất kì thuộc hình kia qua điểm 
và ngược lại.
• Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một điểm thì bằng nhau.
• Hình có tâm đối xứng: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm 
cũng thuộc hình H.
• Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng với D qua AC.
a) Chứng minh rằng E đối xứng với F qua A.
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì EF có độ dài ngắn nhất?
Bài 2: Cho góc 
khác góc bẹt, điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy. Gọi C là trung điểm của AB, điểm D đối xứng với O qua A, điểm E đối xứng với O qua B, điểm F đối xứng với O qua C.
a, Chứng minh rằng D đối xứng với E qua F.
b, Các điểm A và B có vị trí như thế nào thì D đối xứng với E qua đường thẳng OF?
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, D, E theo thứ tự là trung điểm của BC, AB, AC. Gọi I là điểm đối xứng với M qua D, K là điểm đối xứng với M qua E. Chứng minh rằng I đối xứng với K qua A.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A, E là điểm đối xứng với C qua A. Lấy các điểm I và K theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng DE và BC sao cho 
. Chứng minh rằng I đối xứng với K qua A.
Bài 5: Cho tam giác 
, trực tâm 
. Gọi 
là trung điểm của 
. 
là điểm đối xứng với 
qua 
.
a, Chứng minh rằng: 
.
b, Gọi 
là trung điểm của 
. Chứng minh rằng: 
.
Bài 6: Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi A' là điểm đối xứng với O qua trung điểm D của BC, B' là điểm đối xứng với O qua trung điểm E của AC, C' là điểm đối xứng với O qua trung điểm F của AB. Chứng minh rằng 
Bài 7: Trên hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm E trên cạnh AB, lấy điểm F trên cạnh CD sao cho 
.
a) Chứng minh rằng E đối xứng với F qua O.
b) Gọi I là giao điểm của AF và DE, gọi K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng I đối xứng với K qua O.
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: a) E đối xứng với D qua AB nên 
và 
.
F đối xứng với D qua AC nên 
và 
thẳng hàng.
Vậy E đối xứng với F qua A.
b) Ta có: 
nên EF nhỏ nhất 
nhỏ nhất 
D là chân đường cao kẻ từ A đến BC.
Bài 2:
a, Ta có: 
nên 
là đường trung bình của 
do đó 
.
Chứng minh tương tự, 
là đường trung bình của 
suy ra 
.
Ta có: 
mà C nằm giữa A và B nên 
thẳng hang, F nằm giữa D và E (1).
Ta có: 
mà 
Từ (1) và (2) suy ra F là trung điểm của 
do đó D đối xứng với E qua F.
b, D đối xứng với E qua OF 
là đường trung trực của DE 
vì đã cso 
. Như vậy nếu 
thì D đối xứng với E qua OF.
Bài 3:
HD: Chỉ ra 
. Từ đó 
nên 
thẳng hàng.
Dễ dàng chỉ ra 
. Từ đó suy ra I đối xứng với K qua A
Bài 4:
Tứ giác 
có 
và 
nên là hình bình hành, suy ra 
.
Tứ giác 
có 
và 
nên là hình bình hành, suy ra đường chéo 
đi qua trung điểm 
của 
. Vậy 
, 
, 
thẳng hàng.
Bài 5:
a) Chứng minh được 
là hình bình hành suy ra 
mà 
nên 
Tương tự 
mà 
nên 
b) 
là đường trung bình của 
nên 
, mà 
nên
Bài 6:
HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác chỉ ra 
. Tương tự 
Vậy tam giác 
(c.c.c).
Bài 7:
HD: a. Chứng minh rằng 
là hình bình hành. từ đó EF đi qua trung điểm O của AC và O là trung điểm của 
. Hay E đối xứng với F qua O.
b. Chứng minh rằng 
là hình bình hành từ đó suy ra IK đi qua trung điểm của O của và 
từ đó suy ra I đối xứng với K qua O.
