5. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho 
và đường thẳng 
qua 
không cắt đoạn thẳng 
. Vẽ 
.
Gọi 
là trung điểm của 
.Chứng minh 
Bài 2: Cho hình thang vuông 
tại 
và 
Gọi 
lần lượt là trung điểm của
Chứng minh:
a) 
cân tại 
b) 
Bài 3: Tính các độ dài x và y trên hình. Biết 
(cm).
Bài 4: Cho hình thang ABCD có 
và M là trung điểm của AD . Qua M vẽ đường thẳng song song với hai đáy của hình thang cắt hai đường chéo BD và AC tại E và F, cắt BC tại N.
a, Chứng minh rằng N, E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD, AC.
b, Gọi I là trung điểm của AB , đường thẳng vuông góc với IE tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau ở K. Chứng minh : 
.
Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;
b) Chứng minh PQ // CD và 
c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN.
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của cạnh bên AD. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài 7: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi 
thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng 
.
Tự luyện: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB. Độ dài đường cao BH bằng độ dài đường trung bình MN (M thuộc AD, N thuộc BC) của hình thang ABCD. Vẽ BE// AC (E thuộc DC). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng
a) 
b)Tam giác OAB cân c) Tam giác DBE vuông cân
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: 
(cùng vuông góc với )
Tứ giác 
là hình thang,
Từ I kẻ 
Hình thang có 
và 
nên 
Ta có ; 
nên 
là đường trung trực của đoạn thẳng 
Bài 2:
Chỉ ra 
là đường trung bình của hình thang ABCD nên 
. 
là đường trung trực của AB nên 
hay cân tại 
b) ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau 
)
Bài 3:
Theo tính chất của đường trung bình của hình thang,
ta có 
hay:
(1)
và 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Ta tính được 
và 
Bài 4:
a) Xét hình thang 
có 
;
là trung điểm của 
Xét 
có ; 
Xét 
có ; 
b) 
là đường trung bình của 
là đường trung bình của 
Vậy 
Có 
Chứng minh tương tự ta có 
; 
có 
; 
nên 
là trực tâm 
mà 
; 
vậy KO là đường trung trực của DC hay
Bài 5: a) Xét ΔABD có MP là đường trung bình
⇒ MP // AB ⇒ MP // CD.
Xét ΔADC có MQ là đường trung bình ⇒ MQ // CD.
Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình
.
Qua điểm M có các đường thẳng MP, MQ, MN cùng song song với CD nên các đường thẳng này trùng nhau, suy ra bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Ta có MN // CD nên PQ // CD; 
c) Ta có 
(đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ).
Bài 6: a) Gọi N là trung điểm BC.
Ta có 
Mà 
(vì CM là phân giác 
)
Suy ra 
Tam giác MCN cân tại N
, do đó 
MNB cân tại N
. Mặt khác 
, suy ra 
b) Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên 
Ta lại có 
. Do đó 
Bài 7: Gọi N là hình chiếu của M trên d.
Xét tứ giác 
có 
(cùng vuông góc d)
là hình thang.
M là trung điểm BC và 
(cùng vuông góc d)
là đường trung bình của hình thang
Chứng minh được 
Từ ; suy ra 
