3. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho 
. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho 
. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE.
a) Chứng minh rằng HK song song với DE.
b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10.
Bài 2: Cho 
có
AH là đường cao. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Chứng minh MNKH là hình thang cân.
b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là trung điểm của AD. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
Bài 3: Cho có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D.
a) Nếu 
Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM.
b) Nếu I là trung điểm của AM. Khi đó hãy chứng minh 
c) Nếu Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
Chứng minh BD, CE, AM đồng quy.
Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K. Chứng minh rằng: 
Bài 6: Hình thang cân 
có 
cm, 
cm, 
cm. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BD đến cạnh CD.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH, E là giao điểm của BI và AC. Tính các độ dài AE và EC, biết 
cm, 
cm.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của HC, K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng BK vuông góc với AM.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AC. Gọi I là trung điểm HK. Chứng minh rằng: 
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) 
cân tại B, đường cao BH nên BH đồng thời là đường trung tuyến nên 
Tương tự 
nên HK là đường trung bình của 
nên 
; 
b) 
(vì 
cm )
Bài 2:
a) MN là đường trung bình của 
, hay
và 
cân tại A nên 
(1)
NK là đường trung bình của 
(hai góc ở vị tri so le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
(so le trong) hay 
Tứ giác 
có 
nên tứ giác là hình thang, lại có là hình thang cân.
b) HK là đường trung bình của 
hay 
nên tứ giác 
là hình thang.
NK là đường trung bình của 
mà 
nên 
(so le trong) (3)
Dễ thấy 
cân tại B vì BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
là phân giác của 
(4)
Từ (3), (4) 
hay 
Hình thang có 
tứ giác BCDE là hình thang cân.
Bài 3: a) Khi
Gọi N là trung điểm của DC, khi đó MN là đường trung bình của 
có 
và 
b) Khi 
. Kẻ 
. Xét 
ta có 
và nên 
.
Xét 
có 
nên 
. Vậy 
và dễ dàng chỉ ra 
c) Khi
Ta có I là giao điểm của BD và AM
Gọi F là trung điểm của BE. Ta có 
là đường trung bình của 
thì 
(theo câu a) nên 
là đường trung bình của 
Có 
và 
nên E, I, C thẳng hàng hay EC đi qua điểm I
Bài 4: Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho 
. Khi đó 
cân tại 
nên 
AM là đường trung bình của 
Bài 5: E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD
Gọi M là trung điểm của BC
Nên EM là đường trung bình của
và 
Và FM là đường trung bình của
và 
Mà 
nên 
cân
(kề bù)
Bài 6:
Kẻ 
.
Ta có:
(cm).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào 
, ta có: 
cm.
Tam giác BDH có 
và 
nên IK là đường trung bình.
(cm).
Bài 7:
Kẻ HK // BE ta chứng minh được AE = EK = KC
Kết quả: AE = 5cm, EC = 10cm
Bài 8:
Tam giác AHC có 
và 
là đường trung bình của 
.
. Ta lại có 
nên 
Tam giác ABM có:
và 
là trực tâm, suy ra 
.
Bài 9:
Gọi J là trung điểm của KC, ta có IJ là đường trung bình trong tam giác KHC.
Do đó 
Trong tam giác AHJ có 
. Từ đó, I là trực tâm tam giác AHJ.
AI
HJ (1).
Trong tam giác BKC, HJ là đường trung bình, suy ra 
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
