ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021-2022 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) |
Câu 1 (5,0 điểm)
1. Cho biểu thức 
- Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức
- Tính giá trị của biểu thức
với 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Câu 2 (3,0 điểm)
- Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c.
- Cho đa thức
. Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức 
chia hết cho giá trị của đa thức 
.
Câu 3 (4,0 điểm)
- Giải phương trình nghiệm nguyên:
- Giải phương trình sau:
Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật 
Trên đường chéo 
lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của 
qua P.
- Tứ giác
là hình gì? Vì sao? - Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên
Chứng minh 
và ba điểm 
thẳng hàng. - Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật
không phụ thuộc vào vị trí của điểm 
Câu 5 (2,0 điểm)
- Chứng minh rằng
chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
2. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
------------Hết----------
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2021-2022
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
|
Câu | Đáp án | Điểm |
1 (5,0 điểm) | 1. (3,0 điểm) |
a. (2,0 điểm) |
- ĐKXĐ:
| 0,25 điểm |
| 0,5 điểm |
= | 0,5 điểm |
| 0,5 điểm |
| 0,25 điểm |
b. (1,0 điểm) |
 thỏa mãn ĐKXĐ
| 0,25 điểm |
 | 0,25 điểm |
| 0,25 điểm |
| 0,25 điểm |
2. (2,0 điểm) |
Đặt ta có  | 0,5 điểm |
Khi đó t(t+1) – 12 = (t-3)(t+4) | 0,5 điểm |
| 0,5 điểm |
| 0,5 điểm |
2 (3,0 điểm) | 1. (1,5 điểm) |
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc  2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc | 0,25 điểm |
2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 | 0,25 điểm |
 0
| 0,5 điểm |
Vì  | 0,25 điểm |
Nên 0 khi a = b = c | 0,25 điểm |
2. (1,5 điểm) |
Chia  cho  được thương là  dư  | 0,25 điểm |
để chia hết cho  thì  chia hết cho  chia hết cho 
 chia hết cho 
| 0,25 điểm |
 chia hết cho 
 6 chia hết cho 
 là ước của 6
| 0,25 điểm |
mà  =>  =>  | 0,5 điểm |
Thử lại ta thấy  thỏa mãn Vậy với  thì chia hết cho | 0,25 điểm |
3 (4,0 điểm) | 1. (2,0 điểm) |
 
| 0,25 điểm |
| 0,5 điểm |
Vì:  | 0,25 điểm |
 
   
| 0,25 điểm |
 
| 0,25 điểm |
 
Vì  nên    Vậy phương trình có một nghiệm nguyên  | 0,5 điểm |
2. (2,0 điểm) |
ĐKXĐ:  | 0,25 điểm |
(1)   | 0,5 điểm |
| 0,25 điểm |
| 0,25 điểm |
| 0,25 điểm |
 (TMĐK) Vậy tập nghiệm của phương trình là 
| 0,5 điểm |
4 (6,0 điểm) | 
| 0,5 điểm |
a. (2,0 điểm) |
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có O là trung điểm của AC  là trung điểm của 
| 1,0 điểm |
Hay  là đường trung bình của  hay  | 0,5 điểm |
Vậy  hay tứ giác  là hình thang. | 0,5 điểm |
b. (2,0 điểm) |
Do  hay  (đồng vị) | 0,25 điểm |
Xét  cân ta có:  | 0,25 điểm |
Gọi  là giao điểm của  và  ta thấy  cân ở I hay  | 0,25 điểm |
Suy ra  hay  | 0,5 điểm |
Mặt khác IP là đường trung bình của  suy ra  | 0,5 điểm |
Từ (1) và (2) suy ra:  thẳng hàng | 0,25 điểm |
c. (1,5 điểm) |
- Chứng minh
| 1,0 điểm |
 không đổi.
| 0,5 điểm |
5 (2,0 điểm) | 1. (1,0 điểm) |
| 0,25 điểm |
Do n là số nguyên lẻ nên  ( ) Khi đó  
| 0,25 điểm |
Vì  là hai số nguyên liên tiếp   chia hết cho 2  chia hết cho 2 nên  chia hết cho 4
| 0,25 điểm |
 chia hết cho 64.
Vậy  chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ. | 0,25 điểm |
2. (1,0 điểm) |
| 0,25 điểm |
Theo BĐT Cô Si ta có: dấu “=” khi ; | 0,25 điểm |
Tương tự:  dấu “=” khi ;  dấu “=” khi ; | 0,25 điểm |
⇒ . Dấu “=” xảy ra khi  ;  ;  Vậy Min  khi với ; ; | 0,25 điểm |
-----------Hết-----------
