CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT TÌM SỐ DƯ
Định lý Be zout: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, 
có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không?
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của 
khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: 
. Vậy 
Tương tự:
Số dư của 
khi chia cho x+2 có giá trị là:
Vậy 
Bài 2: Tìm số a để 
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của 
khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: 
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để: 
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của 
khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị là: 
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
Bài 4: Tìm hế số a để: 
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của 
khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: 
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế số a để: 
HD:
Hạ phép chia ta có: 
Để 
Bài 6: Tìm hế số a để: 
dư 4
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của 
, khi chia cho x-3 là 
Để có số dư là 4 thì 
Bài 7: Tìm hế số a để: 
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của 
, khi chia cho x - 1 là 
Để có phép chia hết thì 
Bài 8: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để 
Bài 9: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế số a, b để: 
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế số a để: 
HD :
Để 
thì 
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
Và: 
Giải hệ ta được a=0 và b=-16
Bài 13: Tìm hế số a để: 
HD :
Để 
thì 
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
Và: 
Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a
Bài 14: Tìm hế số a để: 
Hạ phép HD :
chia ta có :
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
Bài 16: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì :
8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
Bài 18: Tìm hế số a để: 
HD :
Tách: 
Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2
Bài 19: Tìm hế số m để: 
HD :
Ta có: 
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
Bài 20: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12
Bài 21: Tìm hế số a để: 
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của 
khi chia cho x+4 là:
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
Bài 22: Tìm hế số a để: 
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1
Bài 23: Tìm hế số a để: 
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của 
khi chia cho x+2a là:
Để là phép chia hết thì 
Bài 24: Tìm số dư của 
khi chia cho x-1
HD :
Ta có : 
nên số dư là 5
Bài 25: Tìm số dư của : 
khi chia cho 
HD :
Ta có : 
=> Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của: 
khi chia cho 
HD :
= 
Vậy số dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 28: Tìm n nguyên để 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để : 
Bài 29: Tìm các số x nguyên để 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 
HD :
Theo định Bơ zụ thì dư của 
, khi chia cho x-3 là :
Để 
Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để 
Bài 35: Tìm phần dư của phép chia 
cho đa thức :
a, 
b, 
Bài 36: Cho đa thức: 
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 37: Tìm số nguyên n sao cho: 
chia hết cho 
DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC
Bài 1: Tìm a,b sao cho 
, chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5
HD :
Theo bài ra ta có: 
, Cho x=-1, x=3=> 
Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho: 
chia hết cho x+2, chia cho 
dư 5
HD :
Theo bài ra ta có: 
Khi dó ta có :
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5
Khi đó ta có hệ: 
Bài 3: Xác định a, b biết: 
chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21
HD :
Theo bài ra ta có :
và 
Cho 
Cho 
Khi đó ta có hệ : 
Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho: 
chia cho 
được dư là 2x-3
HD :
Theo bài ra ta có :
Nên ta có :
Cho 
Cho 
Khi đó ta có hệ 
Bài 5: Cho 
, Xác định a,b để 
HD :
Đặt phép chia ta có :
Để 
Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho: 
chia hết cho x-2,
chia cho 
dư 2x
HD :
Theo bài ra ta có : 
Và 
Cho 
Cho 
Cho 
. Khi đó ta có hệ : 
Bài 7: Xác định a,b sao cho: 
HD :
Đặt phép chia: 
Để 
Bài 8: Xác định a,b sao cho: 
HD :
Đặt phép chia
Để là phép chia hết thì 
Bài 9: Tìm tổng các hệ số của đa thứ sau khi khai triển: 
HD :
Tổng các hệ số cảu đa thức sau khi triển khai là giá trị cảu đa thức tại x=1
Thay x=1 vào ta được: 
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và 
có thương là 
và còn dư
HD :
Cho 
. Khi đó ta có hệ : 
Bài 11: Xác định đa thức 
, biết: A(x) chia hết cho x-2 và 
dư là 3x+2
HD :
Ta có : 
Khi đó ta có : 
Và 
Cho 
, Cho 
, Cho 
Khi đó ta có hệ : 
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và 
được thương là 
và còn dư
HD :
Do f(x) chia cho 
được thương là 
còn dư nên ta có :
Cho 
Cho 
Khi đó ta có hệ: 
Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và P(-1)= - 18
HD :
Ta có: 
chia hết cho 
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng 
,
m là hằng số
Lại có : 
Vậy 
Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: 
HD :
Cho x=0=> 
mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
Đặt 
Chọn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2
Vậy đa thức cần tìm là: 
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8,
chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư
HD :
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
Và 
Và 
Cho 
Cho 
Khi đó ta có hệ:
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995
HD :
Đặt: 
Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002
Vậy đa thức cần tìm là: 
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
HD :
Đặt 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Vậy đa thức cần tìm là: 
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985
HD :
Đặt 
Cho 
Cho 
Cho 
Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: 
Bài 19: Cho đa thức: 
và 
, xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung
HD :
Giả sử nghiệm chung là c
=> 
vì x = c là nghiệm
Nên
,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Bài 20: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho 
được thương là 
và còn dư
Bài 21: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 
chia hết cho 
Bài 22: Cho đa thức bậc hai : 
biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 23: Cho đa thức: 
, Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 24: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: 
với mọi x
Bài 25: Cho đa thức: 
, Xác định các hệ số 
, 
Bài 26: Cho đa thức: 
, CMR 
luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 27: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 28: Cho đa thức: 
. Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 29: Xác định các hệ số của a, b để 
chia hết cho 
Bài 30: Cho đa thức: 
và đa thức: 
, Tìm m để đa thức A chia cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0
DẠNG 3: TỔNG HỢP
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 
HD :
Ta có: = 
Vì 
nên ta có đpcm
Bài 2: CMR: 
chia hết cho 24 với mọi n
HD :
Ta có: 
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: 
chia hết cho 48
ta có: 
,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
với n
Nên 
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
Bài 4:
a, Tìm giá trị của a để 
b, Xác định các hệ số a, b để đa thức 
chia hết cho đa thức 
HD :
a, Thực hiện phép chia ta được thương là 
và dư là a+30
b,
khi 
, Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có: 
Bài 5: Cho đa thức 
, Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD :
Ta có: 
vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng 
với m là hằng số:
lại có: 
vậy 
Bài 6: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: 
HD :
Biểu thức <=>
Bài 7: Tìm a để đa thức 
chia hết cho đa thức 
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 8: Tìm các số a và b sao cho 
chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có : 
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được : 
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 10: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu 
thì 
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia cho đa thức :
a,
b,
Bài 12: Tìm giá trị của a để
HD:
Thực hiện phép chia ta được thương là và dư là a+30
Bài 13: Cho đa thức , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD:
Ta có: vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng với m là hằng số:
lại có: vậy
Bài 14: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
HD:
Biểu thức <=>
Bài 15: Tìm a để đa thức chia hết cho đa thức
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 16: Cho đa thức:
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho được thương là và còn dư
Bài 18: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho chia hết cho
Bài 19: Cho đa thức 
, Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho
3x-1, CMR : 
Bài 20: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : 
Bài 21: Tìm các số a và b sao cho chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có :
Thay x = -1 và x=3 vào biểu thức trên ta được :
Bài 22: CMR : 
, không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
Bài 23: CMR với mọi số nguyên n thì 
chia hết cho 23
Bài 24: CMR với mọi n thì 
với n là số nguyên
Bài 25: Xác định các hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức
HD:
khi , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có:
Bài 26: Cho đa thức , Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho 3x-1, CMR :
Bài 27: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn :
Bài 28: CMR với mọi số nguyên n thì chia hết cho 23
a, CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 29: CMR với mọi n thì với n là số nguyên
Bài 30: Cho đa thức: 
, CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 31: Cho đa thức: 
thỏa mãn: f(1)=f(-1)
a, Tìm b
b, CMR: f(m)=f(-m) với m bất kỳ
Bài 32: Tính giá trị của đa thức sau biết: 
: 
HD:
Biến đổi đa thức theo hướng làm xuất hiện 
Ta có: 
=
Bài 33: Số a gồm 31 chữ số 1, só b gồm 38 chữ số 1, CMR: ab-2 chia hết cho 3
Bài 34: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a, 
chia hết cho 5
b, 
chia hết cho 6
c, 
chia hết cho 12
Bài 35: Tìm giá trị của m để cho phương trình 
, có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: 
HD:
Ta có: 
Để phương trình 
có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình
hay 
Thay vào ta có: 
