➇ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lí 1. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Trên hình bên, điểm 
là giao điểm các đường trung trực của 
Ta có 
Điểm 
là tâm đường tròn ngoại tiếp 
Định lí 2. Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.
Bài 2: Cho tam giác 
cân tại 
Trên cạnh MN lấy điểm 
trên cạnh 
lấy điểm 
sao cho 
Đường trung trực của 
cắt đường trung trực của 
tại 
a) Chứng minh 
b) Chứng minh 
thuộc đường trung trực của 
c) Chứng minh 
là tia phân giác của 
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, 
. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O và cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng:
a) OA là đường trung trực của BC;
b) BD = CE;
c) 
là tam giác cân;
Bài 4: Cho 
nhọn, 
là giao điểm hai đường trung trực của 
và 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
a) Chứng minh 
thuộc đường trung trực của 
và 
b) Chứng minh các tam giác 
vuông.
c) Biết 
Hãy tính số đo góc 
Bài 5: Cho 
vuông tại 
Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng 
cắt 
tại 
và cắt 
tại 
Nối 
và 
a) Chứng minh 
đều.
b) Kẻ phân giác góc 
cắt 
tại 
cắt 
kéo dài tại 
Chứng minh 
là tâm đường trong đi qua ba đỉnh của tam giác 
c) Gọi 
là hình chiếu vuông góc của 
xuống các đường thẳng 
Chứng minh 
d) Tính số đo góc 
Bài 6: Cho tam giác 
có 
Trên cạnh 
lấy các điểm 
và 
sao cho 
. Gọi 
là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác 
a) Chứng minh 
là đường trung trực của 
b) Chứng minh rằng 
Bài tập tự luyện
Bài 7: Tam giác ABC cân tại A có AB = 14cm. Đường trung trực của AB cắt cạnh AC ở E. Biết chu vi tam giác BEC bằng 24cm. Tính độ dài BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có 
. Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng d là đường trung trực của AE.
Bài 9: Cho tam giác 
cân ở 
đường phân giác 
Các đường trung trực của 
và 
cắt nhau tại 
a) Chứng minh rằng ba điểm 
thẳng hàng.b) Kéo dài 
cắt 
ở 
kéo dài 
cắt 
ở 
Chứng minh rằng 
và các đường trung trực của 
và 
đồng quy.
Bài 10: Cho tam giác 
vuông tại 
Kẻ 
vuông góc với 
Tia phân giác của góc 
cắt 
tại 
tia phân giác của góc 
cắt 
tại 
Chứng minh rằng điểm cách đều ba cạnh của 
chính là điểm cách đều ba đỉnh của 
Hết
HDG
Bài 1:
Gọi 
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Do đó, 
Suy ra: 
thẳng hàng, mà 
là trung điểm của 
Bài 2:
a) Từ giả thiết suy ra 
(c.c.c)
b) Từ kết quả câu a), suy ra 
Có 
Chứng minh 
(c.g.c)
thuộc đường trung trực của 
c) Xét 
có 
là giao điểm các đường trung trực của 
và 
là đường trung trực của 
Mà cân tại 
nên 
đồng thời là tia phân giác của góc 
Bài 3:
a) O là giao điểm các đường trung trực của 
cân tại A 
Vậy AO là đường trung trực của BC
b) Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC. 
(g.c.g) 
c) 
cân tại O
Bài 4:
a) Ta có 
nên 
là giao điểm hai đường trung trực của và 
b) Ta có : 
Xét 
có:
Vậy tam giác 
vuông tại 
Tương tự, ta chứng minh được tam giác 
vuông tại 
c) Ta có: 
Suy ra 
Bài 5:
a) 
Ta có: 
đều.
b) đều 
là đường trung trực của 
Mà 
Vậy 
là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác 
c) 
thuộc phân giác của góc 
là đường trung trực của 
là phân giác của 
Vậy 
d) 
là tia phân giác của 
Bài 6:
a) Vì 
đều và 
là giao điểm ba đường trung trực nên 
là tia phân giác của 
b) Tương tự câu a), 
Có 
(c.g.c).
c) Có: 
Chứng minh tương tự câu b), 
(c.g.c)
Từ 
và 
suy ra 
là giao điểm ba đường trung trực của tam giác 
