➆ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
Trên hình vẽ bên, 
là đường trung trực của đoạn thẳng 
. Ta cũng nói: 
đối xứng với 
qua .
Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lí 2: Điểm cách đều ai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
thuộc đường trung trực của 
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho 
. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE
Bài 2: Tam giác 
vuông tại 
có 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
Tính số đo góc 
Bài 3: Cho 3 tam giác cân
có chung đáy 
. Chứng minh 
thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có 
, M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF.
a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
b) Chứng minh 
.
c) Tính các góc của tam giác AEF.
d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK.
e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF.
Bài 5: Cho 
góc 
nhọn, đường cao 
Lấy các điểm 
và 
lần lượt đối xứng với 
qua 
a) Chứng minh 
b) Cho 
Tính số đo góc 
c) Chứng minh 
và 
d) Gọi 
lần lượt là giao điểm của 
với 
Chứng minh 
là tia phân giác của 
Bài 6: Cho tam giác ABC có 
. Trên tia BA lấy điểm M sao cho 
. Phân giác của góc ABC cắt AC tại I, MC ở K. Tia MI cắt BC ở H.
a) Chứng minh BI là trung trực của AH và AH // MC.
b) Chứng minh 
.
c) Nếu 
, tính 
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có , 
, AH là đường cao HM, HN lần lượt là đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Gọi I là trung điểm của MN. Tia AI cắt BC ở K.
a) Chứng minh 
và I là trung điểm của AK.
b) Chứng minh tam giác MAN là tam giác vuông.
Hết
HDG
Bài 1:
(c.g.c) 
(1)
Theo giả thiết:
(2)
Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trực của BE. Suy ra 
Bài 2: 
là đường trung trực của 
cân.
Bài 3:
Vì 
cân tại M 
đường trung trực của đoạn thẳng 
cân tại N 
đường trung trực của đoạn thẳng
cân tại P 
đường trung trực của đoạn thẳng
thẳng hàng.
Bài 4:
a) Vì AB là trung trực của EM 
Vì AC là trung trực của MF 
đường trung trực của EF hay đường trung trực của EF đi 
qua A.
b) Vì AB là trung trực của EM 
Vì AC là trung trực của MF 
Có 
c) Xét 
cân tại A có AB là đường trung trực 
AB là phân giác 
Xét 
cân tại A có AC là đường trung trực
AC là phân giác 
Có:
Vì 
cân tại A và 
d) Vì 
trung trực MF 
cân tại K 
cân tại A
Vì 
trung trực ME 
cân tại I 
cân tại A
Mà 
MA là phân giác của 
e) Để A là trung điểm của EF 
mà 
Bài 5:
a) Từ giả thiết suy ra 
và 
nên 
b) Ta có:
c) 
(c.c.c)
(c.c.c)
d) Có 
cân 
Từ 
và 
suy ra 
là tia phân giác của 
Bài 6: 
hay 
cân tại B có phân giác BI nên BI đồng thời là đường trung trực của AH 
.
là phân giác trong tam giác cân 
cân tại B nên 
cũng là đường trung trực của đoạn 
mà 
thẳng hàng 
.
Từ đó suy ra AH // MC
b) Tam giác 
vuông tại A, trung tuyến AK nên 
Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên 
Từ đó suy ra
[ Lưu ý: Xem lại bài 5 – Phiếu C304: Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác]
c) Nếu thì 
đều (vì 
).
là các tam giác đều
Suy ra tam giác BMC đều hay
