➃ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Đường trung tuyến của tam giác
Đoạn thẳng 
nối đỉnh 
của tam giác 
với trung điểm 
của cạnh 
gọi là đường trung tuyến của tam giác .
• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 
độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• G là trọng tâm tam giác 
thì 
II. BÀI TẬP
Bài 1:
Từ các đẳng thức trên, hãy suy ra các đẳng thức khác:
Bài 2: Cho tam giác 
có hai đường trung tuyến 
cắt nhau tại 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
Chứng minh rằng: a) 
b) 
và 
Bài 3: Tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng 
là tam giác cân.
Bài 4: Cho 
có 3 đường trung tuyến 
đồng quy tại 
.
a) Nếu đều hãy chứng minh: 
.
b) Đảo lại, nếu có khi đó hãy chứng minh tam đều.
Bài 5: : Chứng minh rằng, trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến tương ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Bài 7: Cho 
cân ở 
và 3 trung tuyến 
đồng quy tại trọng tâm 
.
a) Chứng minh 
b) Tính độ dài . (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 8: có đường cao 
, trung tuyến 
. Cho biết 
.
a) Chứng minh 
b) Vẽ 
tại I. Chứng minh 
.
c) Tính các góc của .
Bài 9: Cho vuông tại A có AD là trung tuyến.
a) Chứng minh 
.
b) Biết 
+ Tính cạnh AB.
+ Trung tuyến BE của cắt AD tại G. Tính BE và chứng minh 
là tam giác vuông.
Bài 10: Cho có hai trung tuyến 
và 
vuông góc với nhau tại G. Chứng minh 
.
CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT
Mỗi trung tuyến chia thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Nối 3 đỉnh của tam giác với trọng tâm của nó ta được 3 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
3 trung tuyến của tam giác phân tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Hết
HDG
Bài 1: Hs tự điền
Bài 2:
a) Vì 
là trọng tâm 
nên : 
Lại có 
nên : 
Do đó 
b) Suy ra : 
Từ đó ta có 
và 
Bài 3: Gọi G là giao điểm của BD và CE, ta có 
. Do 
nên
Ta lại có
nên 
. Vậy 
là tam giác cân.
Bài 4: a) Vì 
đều nên 
mà 
b) Ta có: 
mà 
( đã chứng minh bài 3 )
đều.
Bài 5: Xét 
vuông tại A, đường trung tuyến AM.
Ta sẽ chứng minh 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho 
. Ta có
, cần chứng minh. Dễ thấy 
(c.g.c)
do đó 
. Ta lại có 
nên
. Do đó 
(vì cạnh AB chung, 
,
), suy ra
. Vậy 
Bài 6: Xét
, đường trung tuyến AM có 
Ta sẽ chứng minh
. Dễ thấy
.
Các tam giác MAB, MAC cân tại M nên:
. 
Do đó 
Ta lại có 
nên 
Bài 7: 
a) 
b) Vì M là trung điểm 
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông 
ta có:
Vì G là trọng tâm 
Xét 
và 
có: 
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông 
ta có:
Vì G là trọng tâm 
Vậy 
Bài 8:
a) 
(c.g.c)
b) Chỉ ra 
mà 
c) Ta có: 
Trong tam giác vuông 
có 
. Vậy tam giác ABC có: 
Chứng minh bổ đề: Trong một tam giác vuông, góc đối diện với cạnh cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì bằng 
Bài 9: 
a) 
b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông 
ta có: 
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông 
ta có:
mà 
vuông tại G ( Pitago đảo)
Bài 10: Vì 
nên :
Bài tập bổ sung:
1) Cho có hai trung tuyến 
và 
cắt nhau tại G. Đường thẳng 
cắt 
tại D. Kẻ 
tại H và 
tại K. Chứng minh:
a) 
b) 
( S là diện tích)
2) Cho 
. Gọi I là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu 
thì I là trọng tâm của
a) 
b) Xét 
và 
có cạnh 
chung mà:
. Chứng minh tương tự ta được: 
Vậy 
2) Gọi 
Kẻ 
tại H, 
tại K
là trung điểm 
. Chứng minh tương tự: 
là trung điểm 
mà 
là trọng tâm 
; 
; 