➁ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1. Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
2. Quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng
Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xien bằng nhau. 
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ 
Trên các đoạn thẳng HD và HC, lấy các điểm D và E sao cho 
So sánh các độ dài AD, AE bằng cách xét hai hình chiếu.
Bài 2: Cho tam giác 
cân tại A. Trên cạnh Bc lấy các điểm D và E sao cho 
Gọi M là trung điểm của DE.
a. Chứng minh 
b. So sánh các độ dài 
Bài 3: Cho 
có 
, D nằm giữa A,C ( BD không vuông góc với AC). Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, C đến đường thẳng BD. So sánh 
với AB và AC.
Bài 4: Cho tam giác 
cân tại 
Gọi 
là chân đường vuông góc kẻ từ 
đến 
điểm 
thuộc cạnh 
khác 
Chứng minh rằng 
Bài 5: Cho tam giác 
không vuông. Kẻ 
vuông góc với 
tại 
kẻ 
vuông góc với 
tại 
Chứng minh rằng 
Bài 6: Cho 
vuông tại A, M là trung điểm BA. Vẽ 
tại I, 
tại K. Chứng minh:
b. 
Bài 7: Cho 
có 
, I là điểm nằm giữa N, P.
a) Chứng minh MI bé hơn ít nhất một trong 2 cạnh góc vuông.
b) Vẽ 
tại H . Trên cạn NP lấy điểm E sao cho 
, trên cạnh MP lấy điểm F sao cho 
. Chứng minh 
c) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh góc vuông nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và chiều cao tương ứng.
HDG
Bài 1: Đường xiên 
nên hình chiếu 
Ta lại có 
nên 
Hình chiếu 
nên đường xiên 
Bài 2: a) 
.
Ta lại có 
suy ra 
Vậy 
b) Hình chiếu 
nên đường xiên
. Hình chiếu 
nên đường xiên
. Ta có 
Bài 3: Vì 
vuông tai E nên 
Vì 
vuông tại F nên 
Cộng theo vế và ta được
hay 
Mặt khác 
Từ và suy ra 
.
Bài 4: Ta có 
(quan hệ đường vuông góc, đường xiên).
Nếu 
thuộc đoạn 
do đó 
Nếu 
thuộc đoạn 
Bởi vậy 
Bài 5:
vuông tại D nên 
vuông tại E 
Do đó 
Bài 6:
a) Chứng minh được 
(cạnh huyền – góc nhọn) 
vuông tại K 
vuông tại I 
Cộng theo vế của và được 
Vì 
vuông tại I nên 
Cộng theo vế cuả và được 
b) 
vuông tại M có 
lần lượt vuông tại I, A 
Mặt khác 
vuông tại K nên 
Cộng theo vế của và được 
Từ và suy ra (đpcm).
Bài 7:
a) Giải sử I thuộc NH khi đó 
có 
suy ra 
Tương tự nếu I thuộc NP suy ra 
.
Vậy MI bé hơn ít nhất một trong 2 cạnh góc vuông.
b) Ta có 
(cùng phụ 
)
cân tại N. 
cân tại M lại có
Suy ra các góc ở đáy bằng nhau: 
Có 
Gọi S là giao điểm của ME và HF, 
có 
suy ra 
hay 
tại S
( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra 
(cạnh – góc – cạnh). Suy ra 
(cạnh – cạnh – cạnh)
c) Ta cần chứng minh
. Đặt 
Giải sử 
Bình phương 2 vế ta có
(pitago và 
)
(luôn đúng)
Vậy là đúng hay … (đpcm)
