➃. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC:
CẠNH – GÓC – CẠNH (C.G.C)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho 
có 
là tia phân giác, 
(
). Trên tia 
lấy điểm 
, trên tia
lấy điểm 
sao cho 
. Chứng minh:
a) 
.
b) 
và 
.
Bài 2: Cho tam giác 
, kẻ AH vuông góc với BC 
. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm K sao cho 
. Nối KB, KC. Tìm các cặp tam giác bằng nhau trong hình vẽ.
Bài 3: Cho 
có 
, trên cạnh 
lấy điểm E sao cho 
. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
a) Chứng minh: 
.
b) Chứng minh: 
.
c) Tính số đo 
.
Bài 4: Cho hai đoạn thẳng 
và 
cắt nhau tại trung điểm 
của mỗi đoạn thẳng.
a) Chứng minh: 
và 
.
b) Chứng minh: 
và 
.
c) Chứng minh: 
.
d) Vẽ 
tại 
.Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
. Chứng minh: 
Bài 5: Cho tam giác 
có 
. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB (I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC (K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng: a) 
b) 
Bài 6: Cho 
có ba góc nhọn. Vẽ 
tại 
, 
tại 
. Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
, trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
. Chứng minh: 
và 
.
Bài 7: Cho góc bẹt 
có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy hai điểm A, B ( A nằm giữa O và B). Lấy điểm 
sao cho 
lấy điểm 
sao cho 
a) Chứng minh AC = BD và 
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh 
c) Tính các góc của tam giác 
d) Chứng minh 
Bài 8: (Tự luyện) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ 
. Vẽ 
tại I, vẽ 
tại K. Lấy E, F sao cho I là trung điểm của HE, K là trung điểm của HF, EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh 
và chu vi 
bằng EF
b) Chứng minh AE = AF
c) Nếu biết 
. Khi đó hãy tính các góc của tam giác 
( Chu vi của một tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh của tam giác)
HDG
Bài 1: a) Có 
; 
; 
là cạnh chung
suy ra 
(hai góc tương ứng)
suy ra 
hai cạnh tương ứng)
Bài 2: 
(c.g.c);
(c.g.c);
(c.g.c) hoặc (c.c.c)
Bài 3:
Cặp cạnh tương ứng
Cặp góc tương ứng
Bài 4: 
a) Chứng minh: 
và 
.
* Xét hai tam giác 
và 
có:
(gt)
(hai góc đối đỉnh)
(gt)
= 
(c.g.c)
.(2 cạnh tương ứng bằng nhau)
Vì 
= 
nên 
(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 
và 
là hai góc ở vị trí so le trong 
.
b) Chứng minh: 
và 
.
* Xét hai tam giác 
và 
có:
(gt)
(hai góc đối đỉnh)
(gt)
= 
(c.g.c)
(2 cạnh tương ứng bằng nhau).
Vì 
= 
nên 
(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 
và 
là hai góc ở vị trí so le trong, cát tuyến 
.
c) Chứng minh: 
.
Ta có: 
(cmt)
(cmt)
(đpcm)
d) Vẽ 
tại 
.Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
. Chứng minh: 
* Xét hai tam giác 
và 
có:
(gt)
(hai góc đối đỉnh)
(gt)
= 
(c.g.c)
hay 
.
Bài 5: 
a) 
(c.g.c) 
.
b) Gọi 
là giao điểm của AB và IC, gọi 
là giao điểm của 
và 
.
Xét 
và 
, ta có 
(do 
, (đối đỉnh) nên 
.
Do 
nên 
. Vậy 
.
Bài 6:
Vì 
vuông tại 
nên 
hay
Vì 
vuông tại 
nên 
hay 
Từ và suy ra 
Mặt khác, ta lại có 
* Xét hai tam giác 
và 
có:
(gt)
(theo chứng minh trên)
(gt)
(c.g.c)
(2 cạnh tương ứng bằng nhau).
Vì 
nên 
(2 góc tương ứng bằng nhau)
Ta có 
(
là góc ngoài tại đỉnh C của 
)
(
vuông tại E)
Vậy 
hay 
.
Bài 7:
a) Vì góc xOy bẹt có Ot là tia phân giác
Chứng minh
(2 cạnh tương ứng)
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Có 
vuông tại E 
b) Vì 
.
Chứng minh 
; và 
c) (cmt) từ đó chỉ ra được 
Gọi P là trung điểm của MN từ đó chỉ ra 
từ đó chỉ ra 
d) Vận dụng tương tự câu c, gọi Q, T lần lượt là trung điểm của BC và AD, chỉ ra 
Từ đó suy ra 
hay
Bài 8: a,b tự chứng minh
c) 
